fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורים מספריים – בדיקת התכנסות בהחלט ובתנאי לטור מחליף סימן עם ln – תרגיל 2870

תרגיל 

בדקו אם הטור:

\frac{1}{3\ln^2 3}-\frac{1}{4\ln^2 4}+\frac{1}{5\ln^2 5}-...

מתכנס בהחלט, בתנאי או מתבדר?

תשובה סופית


הטור מתכנס בהחלט

פתרון

נמצא את האיבר הכללי של הטור. נשים לב שבמונה של כל השברים יש את המספר 1, ובמכנה של כל השברים יש שני רצפים של מספרים עוקבים המתחיל ב-3. בנוסף, הטור מחליף סימן – חיובי, שלילי, חיובי, שלילי, וכו’. הנוסחה להחלפת סימן היא (1-) בחזקה n-ית. מקבלים שהאיבר הכללי הוא

a_n=\frac{{(-1)}^{n+1}}{n\ln^2 n}

והטור שלנו מתחיל ב-n=3:

\sum_{n=3}^{\infty} a_n=\sum_{n=3}^{\infty}\frac{{(-1)}^{n+1}}{n\ln^2 n}

הערה: לאחר שמוצאים את הנוסחה של הטור, מומלץ להציב את האיברים הראשונים ולוודא שמקבלים את איברי הטור. אם לא, יש טעות בחישוב האיבר הכללי או טעות בקביעת טווח הטור (מאיזה n מתחילים).

הטור אינו טור חיובי אלא טור מחליף סימן. לכן, נבדוק אם הטור מתכנס בהחלט. כלומר, נבדוק אם הטור בערך מוחלט מתכנס:

\sum_{n=3}^{\infty} |a_n|=\sum_{n=3}^{\infty} |\frac{{(-1)}^{n+1}}{n\ln^2 n}|=

=\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n\ln^2 n}

טור זה מתכנס – לפתרון לחצו כאן.

לכן, הטור שלנו 

\sum_{n=3}^{\infty}\frac{{(-1)}^{n+1}}{n\ln^2 n}

מתכנס בהחלט.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה