fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורים מספריים – בדיקת התכנסות בהחלט ובתנאי לטור מחליף סימן עם שורשים – תרגיל 2872

תרגיל 

בדקו אם הטור:

\sum_{n=1}^{\infty} {(-1)}^n\frac{\sqrt{3n-4}}{1+\sqrt{5n+17}}

מתכנס בהחלט, בתנאי או מתבדר?

תשובה סופית


הטור מתבדר

פתרון

האיבר הכללי של הטור הוא

a_n= {(-1)}^n\frac{\sqrt{3n-4}}{1+\sqrt{5n+17}}

הטור אינו טור חיובי אלא טור מחליף סימן. לכן, נבדוק אם הטור מתכנס בהחלט. כלומר, נבדוק אם הטור בערך מוחלט מתכנס:

\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|=\sum_{n=1}^{\infty} | {(-1)}^n\frac{\sqrt{3n-4}}{1+\sqrt{5n+17}}|=

=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{3n-4}}{1+\sqrt{5n+17}}

נבדוק אם התנאי ההכרחי להתכנסות מתקיים. לשם כך, נחשב את הגבול:

\lim_{n\rightarrow \infty} a_n=

נציב את הטור ונקבל:

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\sqrt{3n-4}}{1+\sqrt{5n+17}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\sqrt{n(3-\frac{4}{n})}}{1+\sqrt{n(5+\frac{17}{n})}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\sqrt{n}\sqrt{3-\frac{4}{n}}}{\sqrt{n}(\frac{1}{\sqrt{n}}+\sqrt{5+\frac{17}{n}})}=

=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\sqrt{3-\frac{4}{n}}}{\frac{1}{\sqrt{n}}+\sqrt{5+\frac{17}{n}}}=

נציב אינסוף ונקבל:

=\frac{\sqrt{3-0}}{0+\sqrt{5+0}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\neq 0

מכיוון שהגבול אינו שווה לאפס, מתנאי הכרחי להתכנסות מקבלים שהטור

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{3n-4}}{1+\sqrt{5n+17}}

מתבדר. כלומר, הטור

\sum_{n=1}^{\infty} {(-1)}^n\frac{\sqrt{3n-4}}{1+\sqrt{5n+17}}

אינו מתכנס בהחלט

ננסה לבדוק אם הטור מתכנס בתנאי. מכיוון שהטור מחליף סימן, נשתמש במבחן לייבניץ. לשם כך, נגדיר את הסדרה

{\{\frac{\sqrt{3n-4}}{1+\sqrt{5n+17}}\}}_{n=1}^{\infty}

איברי הסדרה הם האיבר הכללי של הטור ללא החלפת הסימן. כעת, נבדוק את שני התנאים של מבחן לייבניץ. התנאי הראשון – צריך לבדוק שהאיבר הכללי של הסדרה שואף לאפס:

\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\sqrt{3n-4}}{1+\sqrt{5n+17}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\neq 0

הגבול אינו שואף לאפס, וזה תנאי הכרחי במבחן לייבניץ. מכיוון שהתנאי ההכרחי אינו מתקיים, נסיק שהטור מתבדר.

הערה: שימו לב שכבר חישבנו את אותו הגבול, כשבדקנו אם הטור מתכנס בערך מוחלט. ולכן, יכולנו להסיק כבר שם שהטור מתבדר.

תשובה סופית – הטור מתבדר.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה