fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורי חזקות – תחום התכנסות בהחלט ובתנאי לטור עם פולינום – תרגיל 2880

תרגיל 

מצאו את תחום ההתכנסות (בהחלט ובתנאי) של הטור:

10x+100x^2+1000x^3+...

תשובה סופית


(-\frac{1}{10},\frac{1}{10})

פתרון

נסדר את הטור, כדי שיהיה לנו קל למצוא את האיבר הכללי של הטור:

10x+100x^2+1000x^3+...=

=10^1x^1+10^2x^2+10^3x^3+...

נגדיר

a_n=10^n

ונקבל שהטור שלנו הוא

\sum_{n=1}^{\infty} a_nx^n=\sum_{n=1}^{\infty} 10^nx^n

הערה: לאחר שמוצאים את הנוסחה של הטור, מומלץ להציב את האיברים הראשונים ולוודא שמקבלים את איברי הטור. אם לא, יש טעות בחישוב האיבר הכללי או טעות בקביעת טווח הטור (מאיזה n מתחילים).

נמצא את רדיוס ההתכנסות של הטור בעזרת משפט קושי-אדמר:

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{|10^n|}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{10^n}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}

לכן, הטור מתכנס בהחלט כאשר מתקיים:

|x|<\frac{1}{10}

כלומר, תחום ההתכנסות של הטור הוא

(-\frac{1}{10},\frac{1}{10})

נבדוק את קצות התחום. קצה אחד הוא הנקודה

x=\frac{1}{10}

נציב את הנקודה בטור החזקות ונקבל את טור המספרים:

\sum_{n=1}^{\infty} 10^n\cdot {(\frac{1}{10})}^n=

=\sum_{n=1}^{\infty} 1

נבדוק אם התנאי ההכרחי להתכנסות מתקיים. לשם כך, נחשב את הגבול:

\lim_{n\rightarrow \infty} 1=1\neq 0

מכיוון שהגבול על האיבר הכללי של הטור אינו שואף לאפס, מתנאי הכרחי להתכנסות נובע שהטור מתבדר.

נבדוק את הקצה השני של תחום ההתכנסות:

x=-\frac{1}{10}

נציב את הנקודה בטור החזקות ונקבל את טור המספרים:

\sum_{n=1}^{\infty} 10^n\cdot {(-\frac{1}{10})}^n=

=\sum_{n=1}^{\infty} {(-1)}^n

שוב נבדוק אם התנאי ההכרחי להתכנסות מתקיים. לשם כך, נחשב את הגבול:

\lim_{n\rightarrow \infty} {(-1)}^n

אבל גבול זה אינו קיים. מכיוון שהגבול אינו אפס, שוב מתנאי הכרחי להתכנסות  מקבלים שהטור מתבדר.

תשובה סופית – הטור מתכנס בהחלט בתחום

(-\frac{1}{10},\frac{1}{10})

ומתבדר בקצוות.

פתרון מפורט בוידאו

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה