fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורי חזקות – תחום התכנסות בהחלט ובתנאי לטור מחליף סימן עם חזקות זוגיות – תרגיל 2921

תרגיל 

מצאו את תחום ההתכנסות (בהחלט ובתנאי) של הטור:

1-\frac{x^2}{5\sqrt{2}}+\frac{x^4}{5^2\sqrt{3}}-\frac{x^6}{5^3\sqrt{4}}+\frac{x^8}{5^4\sqrt{5}}+...

תשובה סופית


[-\sqrt{5},\sqrt{5}]

פתרון

נמצא את האיבר הכללי של הטור:

1-\frac{x^2}{5\sqrt{2}}+\frac{x^4}{5^2\sqrt{3}}-\frac{x^6}{5^3\sqrt{4}}+\frac{x^8}{5^4\sqrt{5}}-...=

=\frac{x^0}{5^0\sqrt{1}}-\frac{x^2}{5\sqrt{2}}+\frac{x^4}{5^2\sqrt{3}}-\frac{x^6}{5^3\sqrt{4}}+\frac{x^8}{5^4\sqrt{5}}-...=

נגדיר

a_n=\frac{{(-1)}^n}{5^n\sqrt{n+1}}

ונקבל שהטור שלנו הוא

\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{(-1)}^n}{5^n\sqrt{n+1}} {(x^2)}^n

הערה: לאחר שמוצאים את הנוסחה של הטור, מומלץ להציב את האיברים הראשונים ולוודא שמקבלים את איברי הטור. אם לא, יש טעות בחישוב האיבר הכללי או טעות בקביעת טווח הטור (מאיזה n מתחילים).

נמצא את רדיוס ההתכנסות של הטור בעזרת משפט קושי-אדמר:

R=\lim_{n\rightarrow \infty} |\frac{a_n}{a_{n+1}}|=

R=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{5^n\sqrt{n+1}}}{\frac{1}{5^{n+1}\sqrt{n+2}}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{5^{n+1}\sqrt{n+2}}{5^n\sqrt{n+1}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{5\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+1}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} 5\sqrt{\frac{n+2}{n+1}}=

נחלק מונה ומכנה בחזקה הגבוהה ביותר:

=\lim_{n\rightarrow \infty} 5\sqrt{\frac{\frac{n+2}{n}}{\frac{n+1}{n}}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} 5\sqrt{\frac{1+\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}}}=

נציב אינסוף ונקבל:

=5\sqrt{\frac{1+0}{1+0}}=5

לכן, הטור מתכנס בהחלט כאשר מתקיים:

|x|^2<5

|x|<\sqrt{5}

כלומר, תחום ההתכנסות של הטור הוא

-\sqrt{5}<x<\sqrt{5}

נבדוק את קצות התחום. קצה אחד הוא הנקודה

x=\sqrt{5}

נציב את הנקודה בטור החזקות ונקבל את טור המספרים:

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{(-1)}^n}{5^n\sqrt{n+1}} {({\sqrt{5}}^2)}^n=

=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{(-1)}^n}{5^n\sqrt{n+1}}5^n=

=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{(-1)}^n}{\sqrt{n+1}}

הטור אינו טור חיובי אלא טור מחליף סימן. לכן, נבדוק אם הטור מתכנס בהחלט. נמצא את הטור בערך מוחלט:

\sum_{n=0}^{\infty} |\frac{{(-1)}^n}{\sqrt{n+1}}|=

=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}}

נוכיח שהוא מתבדר בעזרת מבחן האינטגרלראשית, איברי הטור חיוביים לכל n. שנית, לכל n מתקיים:

\sqrt{n+1}<\sqrt{n+2}

מכאן, מתקיים:

\frac{1}{\sqrt{n+1}}>\frac{1}{\sqrt{n+2}}

זה אומר שהסדרה מונוטונית יורדת. שני התנאים של מבחן האינטגרל מתקיימים, לכן נוכל להשתמש במבחן זה.

לשם כך, נגדיר פונקציה שתקיים:

f(n)=\frac{1}{\sqrt{n+1}}

כלומר, נגדיר את הפונקציה:

f(x) =\frac{1}{\sqrt{x+1}}

כעת, נחשב את האינטגרל על הפונקציה. גבולות האינטגרציה יהיו קצות התחום של הטור המקורי. נקבל:

\int_0^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x+1}}dx

זה אינטגרל לא אמיתי עם גבול אינטגרציה אינסופי. לכן, נוסיף גבול לאינסוף ונקבל:

=\lim_{t\rightarrow \infty}\int_0^{t} \frac{1}{\sqrt{x+1}}dx=

=\lim_{t\rightarrow \infty}\int_0^{t} {(x+1)}^{-\frac{1}{2}}dx=

קיבלנו אינטגרל מיידי. נשתמש בנוסחת אינטגרל המתאימה ונקבל:

=\lim_{t\rightarrow \infty}[\frac{{(x+1)}^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}]_{0}^{t}=

=\lim_{t\rightarrow \infty}[2\sqrt{x+1}]_{0}^{t}=

הערה: שימו לב שיכולנו להשתמש בנוסחת האינטגרל רק משום שהפונקציה הפנימית לינארית (כלל 3 בכללי האינטגרציה).

נציב את גבולות האינטגרציה (גבול עליון פחות גבול תחתון):

=\lim_{t\rightarrow \infty}(2\sqrt{t+1}-2\sqrt{0+1})=

=\lim_{t\rightarrow \infty}(2\sqrt{t+1}-2)=

נציב אינסוף ונקבל:

=2\sqrt{\infty}-2=\infty

 

קיבלנו תוצאה אינסופית, ולכן האינטגרל מתבדר. מכאן, לפי מבחן האינטגרל, גם הטור מתבדר.

לכן, הטור

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{(-1)}^n}{\sqrt{n+1}}

אינו מתכנס בהחלט. נבדוק אם הוא מתכנס בתנאי בעזרת מבחן לייבניץ. לשם כך, נגדיר את הסדרה:

{\{\frac{1}{\sqrt{n+1}}\}}_{n=0}^{\infty}

איברי הסדרה הם האיבר הכללי של הטור ללא החלפת הסימן. כעת, נבדוק את שני התנאים של מבחן לייבניץ. התנאי הראשון – צריך לבדוק שהאיבר הכללי של הסדרה שואף לאפס:

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}}=0

מכיוון שהגבול שווה לאפס, נמשיך לבדוק את התנאי השני – צריך לבדוק שהסדרה מונוטונית יורדת – היא יורדת כפי שראינו לעיל.

מכאן, שני התנאים מתקיימים, ולכן ממבחן לייבניץ נובע שהטור

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{(-1)}^n}{\sqrt{n+1}}

מתכנסמכיוון שקיבלנו שהטור אינו מתכנס בהחלט, נובע שהטור מתכנס בתנאי.

נבדוק את הקצה השני של תחום ההתכנסות:

x=-\sqrt{5}

נציב את הנקודה בטור החזקות ונקבל את טור המספרים:

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{(-1)}^n}{5^n\sqrt{n+1}} {({-\sqrt{5}}^2)}^n=

=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{(-1)}^n}{5^n\sqrt{n+1}} {(-1)}^n 5^n=

=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{(-1)}^n}{\sqrt{n+1}} {(-1)}^{2n}=

=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{(-1)}^3n}{\sqrt{n+1}}

הטור אינו טור חיובי אלא טור מחליף סימן. הטור זהה לטור שקיבלנו בקצה השני של תחום ההתכנסות, ולכן גם הוא מתכנס בתנאי.

תשובה סופית – הטור מתכנס בהחלט בתחום:

(-\sqrt{5},\sqrt{5})

ומתכנס בתנאי בקצות התחום:

x=\pm \sqrt{5}

מצאתם טעות? יש לכם שאלה בנוגע לפתרון זה? השאירו תגובה למטה.
רוצים פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספרו לי כאן

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה