fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורי חזקות – תחום התכנסות בהחלט ובתנאי לטור מחליף סימן עם פולינום במכנה – תרגיל 2883

תרגיל 

מצאו את תחום ההתכנסות (בהחלט ובתנאי) של הטור:

x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...

תשובה סופית


(-1,1]

פתרון

נסדר את הטור, כדי שיהיה לנו קל למצוא את האיבר הכללי של הטור:

x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...=

=\frac{1}{1}x^1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+...

נגדיר

a_n={(-1)}^{n+1}\frac{1}{n}

ונקבל שהטור שלנו הוא

\sum_{n=1}^{\infty} a_nx^n=\sum_{n=1}^{\infty} {(-1)}^{n+1}\frac{1}{n} x^n

הערה: לאחר שמוצאים את הנוסחה של הטור, מומלץ להציב את האיברים הראשונים ולוודא שמקבלים את איברי הטור. אם לא, יש טעות בחישוב האיבר הכללי או טעות בקביעת טווח הטור (מאיזה n מתחילים).

נמצא את רדיוס ההתכנסות של הטור בעזרת משפט קושי-אדמר:

R=\lim_{n\rightarrow \infty} |\frac{a_n}{a_{n+1}}|=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n+1}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n+1}{n}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} 1+\frac{1}{n}=1+0=1

לכן, הטור מתכנס בהחלט כאשר מתקיים:

|x|<1

כלומר, תחום ההתכנסות של הטור הוא

(-1,1)

נבדוק את קצות התחום. קצה אחד הוא הנקודה

x=1

נציב את הנקודה בטור החזקות ונקבל את טור המספרים:

\sum_{n=1}^{\infty} {(-1)}^{n+1}\frac{1}{n}\cdot 1^n=

=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{(-1)}^{n+1}}{n}

הטור אינו טור חיובי אלא טור מחליף סימן. לכן, נבדוק אם הטור מתכנס בהחלט. נמצא את הטור בערך מוחלט:

\sum_{n=1}^{\infty} |\frac{{(-1)}^{n+1}}{n}|=

=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}

קיבלנו טור הרמוני מתבדר. לכן, הטור

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{(-1)}^{n+1}}{n}

אינו מתכנס בהחלט. נבדוק אם הוא מתכנס בתנאי בעזרת מבחן לייבניץ. לשם כך, נגדיר את הסדרה:

{\{\frac{1}{n}\}}_{n=1}^{\infty}

איברי הסדרה הם האיבר הכללי של הטור ללא החלפת הסימן. כעת, נבדוק את שני התנאים של מבחן לייבניץ. התנאי הראשון – צריך לבדוק שהאיבר הכללי של הסדרה שואף לאפס:

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0

מכיוון שהגבול שווה לאפס, נמשיך לבדוק את התנאי השני – צריך לבדוק שהסדרה מונוטונית יורדת. n טבעי (שלם חיובי), ולכן לכל n בתחום הטור מתקיים:

n<n+1

מכאן, גם מתקיים:

\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}

כלומר, קיבלנו שהסדרה מונוטונית יורדת.

שני התנאים מתקיימים, ולכן ממבחן לייבניץ נובע שהטור

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{(-1)}^{n+1}}{\sqrt{n}}

מתכנסמכיוון שקיבלנו שהטור אינו מתכנס בהחלט, נובע שהטור מתכנס בתנאי.

נבדוק את הקצה השני של תחום ההתכנסות:

x=-1

נציב את הנקודה בטור החזקות ונקבל את טור המספרים:

\sum_{n=1}^{\infty} {(-1)}^{n+1}\frac{1}{n} {(-1)}^n=

=\sum_{n=1}^{\infty} {(-1)}^{2n+1}\frac{1}{n}=

נשים לב שהחזקה נותנת מספר אי-זוגי לכל n:

=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}

קיבלנו טור הרמוני מתבדר.

תשובה סופית – הטור מתכנס בהחלט בתחום

(-1,1)

מתכנס בתנאי בנקודה

x=1

ומתבדר בנקודה

x=-1

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה