fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורי חזקות – תחום התכנסות בהחלט ובתנאי לטור עם ההזזה x+1 – תרגיל 2934

תרגיל 

מצאו את תחום ההתכנסות (בהחלט ובתנאי) של הטור:

(x+1)+\frac{{(x+2)}^2}{2\cdot 4}+\frac{{(x+1)}^2}{3\cdot 4^2}+\frac{{(x+1)}^4}{4\cdot 4^3}+...

תשובה סופית


[-5,3)

פתרון

נמצא את האיבר הכללי של הטור:

(x+1)+\frac{{(x+2)}^2}{2\cdot 4}+\frac{{(x+1)}^2}{3\cdot 4^2}+\frac{{(x+1)}^4}{4\cdot 4^3}+...=

={(x+1)}^1\frac{1}{1\cdot 4^0}+\frac{1}{2\cdot 4}{(x+2)}^2+\frac{1}{3\cdot 4^2}{(x+1)}^3+\frac{1}{4\cdot 4^3}{(x+1)}^4+...

נגדיר

a_n=\frac{1}{n\cdot 4^{n-1}}

ונקבל שהטור שלנו הוא

\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\cdot 4^{n-1}} {(x+1)}^n

הערה: לאחר שמוצאים את הנוסחה של הטור, מומלץ להציב את האיברים הראשונים ולוודא שמקבלים את איברי הטור. אם לא, יש טעות בחישוב האיבר הכללי או טעות בקביעת טווח הטור (מאיזה n מתחילים).

נמצא את רדיוס ההתכנסות של הטור בעזרת משפט קושי-אדמר:

R=\lim_{n\rightarrow \infty} |\frac{a_n}{a_{n+1}}|=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n\cdot 4^{n-1}}}{\frac{1}{(n+1)\cdot 4^{(n+1)-1}}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n\cdot 4^{n-1}}}{\frac{1}{(n+1)\cdot 4^n}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{(n+1)\cdot 4^n}{n\cdot 4^{n-1}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{4(n+1)}{n}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{4n+4}{n}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} 4+\frac{4}{n}=

נציב אינסוף ונקבל:

=4+0=4

לכן, הטור מתכנס בהחלט כאשר מתקיים:

|x+1|<4

-4<x+1<4

-5<x<3

כלומר, תחום ההתכנסות של הטור הוא

(-5,3)

נבדוק את קצות התחום. קצה אחד הוא הנקודה

x=3

נציב את הנקודה בטור החזקות ונקבל את טור המספרים:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\cdot 4^{n-1}} {(3+1)}^n=

=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^n}{n\cdot 4^{n-1}}=

=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n}=

=4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}

אמנם קיבלנו טור חיובי, אך הוא טור הרמוני מתבדר. שימו לב שכפל בקבוע אינו משפיע על התכנסות או על התבדרות הטור (תכונה 2 בתכונות של טורים).

נבדוק את הקצה השני של תחום ההתכנסות:

x=-5

נציב את הנקודה בטור החזקות ונקבל את טור המספרים:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\cdot 4^{n-1}} {(-5+1)}^n=

=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\cdot 4^{n-1}} {(-4)}^n=

=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\cdot 4^{n-1}} {(-1)}^n 4^n=

=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{n} {(-1)}^n

הטור אינו טור חיובי אלא טור מחליף סימן. לכן, נבדוק אם הטור מתכנס בהחלט. נמצא את הטור בערך מוחלט:

\sum_{n=1}^{\infty} |\frac{4}{n} {(-1)}^n|=

=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n}

וזה טור מתבדר כפי שראינו לעיל. לכן, הטור

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n} {(-1)}^n

אינו מתכנס בהחלט. נבדוק אם הוא מתכנס בתנאי בעזרת מבחן לייבניץ. לשם כך, נגדיר את הסדרה:

{\{\frac{4}{n}\}}_{n=1}^{\infty}

איברי הסדרה הם האיבר הכללי של הטור ללא החלפת הסימן. כעת, נבדוק את שני התנאים של מבחן לייבניץ. התנאי הראשון – צריך לבדוק שהאיבר הכללי של הסדרה שואף לאפס:

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{4}{n}=0

מכיוון שהגבול שווה לאפס, נמשיך לבדוק את התנאי השני – צריך לבדוק שהסדרה מונוטונית יורדת. לכל n בתחום מתקיים:

n<n+1

לכן, גם מתקיים:

\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}

נכפול ב-4 ונקבל:

\frac{4}{n}>\frac{4}{n+1}

וקיבלנו שהסדרה מונוטונית יורדת.

מכאן, שני התנאים מתקיימים, ולכן ממבחן לייבניץ נובע שהטור

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{n}{(-1)}^n

מתכנסמכיוון שקיבלנו שהטור אינו מתכנס בהחלט, נובע שהטור מתכנס בתנאי.

תשובה סופית – הטור מתכנס בהחלט בתחום

(-5,3)

מתכנס בתנאי בנקודה

x=-5

ומתבדר בנקודה

x=3

מצאתם טעות? יש לכם שאלה בנוגע לפתרון זה? השאירו תגובה למטה.
רוצים פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספרו לי כאן

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה