fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורי חזקות – תחום התכנסות בהחלט ובתנאי לטור עם הזזה x-3 – תרגיל 2949

תרגיל 

מצאו את תחום ההתכנסות (בהחלט ובתנאי) של הטור:

(x-3)-\frac{{(x-3)}^2}{2^2}+\frac{{(x-3)}^3}{3^2}-\frac{{(x-3)}^4}{4^2}+...

תשובה סופית


[2,4]

פתרון

נמצא את האיבר הכללי של הטור:

(x-3)-\frac{{(x-3)}^2}{2^2}+\frac{{(x-3)}^3}{3^2}-\frac{{(x-3)}^4}{4^2}+...=

=\frac{1}{1^2}{(x-3)}^1-\frac{1}{2^2}{(x-3)}^2+\frac{1}{3^2}{(x-3)}^3-\frac{1}{4^2}{(x-3)}^4+...=

נגדיר (שימו לב שהטור מחליף סימן):

a_n=\frac{1}{n^2}{(-1)}^{n+1}

ונקבל שהטור שלנו הוא

\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}{(-1)}^{n+1} {(x-3)}^n

הערה: לאחר שמוצאים את הנוסחה של הטור, מומלץ להציב את האיברים הראשונים ולוודא שמקבלים את איברי הטור. אם לא, יש טעות בחישוב האיבר הכללי או טעות בקביעת טווח הטור (מאיזה n מתחילים).

נמצא את רדיוס ההתכנסות של הטור בעזרת משפט קושי-אדמר:

R=\lim_{n\rightarrow \infty} |\frac{a_n}{a_{n+1}}|=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{|\frac{1}{n^2}{(-1)}^{n+1}|}{|\frac{1}{{(n+1)}^2}{(-1)}^{(n+1)+1}|}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{{(n+1)}^2}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{{(n+1)}^2}{n^2}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} {(\frac{n+1}{n})}^2=

=\lim_{n\rightarrow \infty} {(1+\frac{1}{n})}^2=

נציב אינסוף ונקבל:

={(1+0)}^2=1

לכן, הטור מתכנס בהחלט כאשר מתקיים:

|x-3|<1

-1<x-3<1

2<x<4

כלומר, תחום ההתכנסות של הטור הוא

(2,4)

נבדוק את קצות התחום. קצה אחד הוא הנקודה

x=2

נציב את הנקודה בטור החזקות ונקבל את טור המספרים:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}{(-1)}^{n+1} {(2-3)}^n=

=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}{(-1)}^{n+1} {(-1)}^n=

=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}{(-1)}^{2n+1}=

שימו לב שהחזקה של (1-) תמיד שלילית. לכן מתקיים:

=-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}

מתכונות של טורים, אנו יודעים שכפל בקבוע אינו משפיע על התכנסות או התבדרות הטור. לכן, נתעלם מ- (1-) ונבדוק התכנסות לטור:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}

זה טור מהצורה:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}

ומתקיים p>1. לכן, הטור מתכנס. אפשר להוכיח זאת בעזרת מבחן האינטגרל. ההוכחה בפתרון תרגיל 48.

נבדוק את הקצה השני של תחום ההתכנסות:

x=4

נציב את הנקודה בטור החזקות ונקבל את טור המספרים:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}{(-1)}^{n+1} {(4-3)}^n=

=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}{(-1)}^{n+1} 1^n=

=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}{(-1)}^{n+1}

הטור אינו טור חיובי אלא טור מחליף סימן. לכן, נבדוק אם הטור מתכנס בהחלט. נמצא את הטור בערך מוחלט:

\sum_{n=1}^{\infty} |\frac{1}{n^2}{(-1)}^{n+1}|=

=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}

וזה טור מתכנס כפי שראינו לעיל. לכן, הטור

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}{(-1)}^{n+1}

מתכנס בהחלט.

תשובה סופית – הטור מתכנס בהחלט בתחום הסגור (כולל הקצוות)

[2,4]

מצאתם טעות? יש לכם שאלה בנוגע לפתרון זה? השאירו תגובה למטה.
רוצים פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספרו לי כאן

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה