fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורי חזקות – תחום התכנסות בהחלט ובתנאי לטור עם פולינום וחזקה n-ית במכנה – תרגיל 2897

תרגיל 

מצאו את תחום ההתכנסות (בהחלט ובתנאי) של הטור:

1+\frac{x}{3\cdot 2}+\frac{x^2}{3^2\cdot 3}+\frac{x^3}{3^3\cdot 4}+\frac{x^4}{3^4\cdot 5}+...

תשובה סופית


[-3,3)

פתרון

נמצא את האיבר הכללי של הטור:

1+\frac{x}{3\cdot 2}+\frac{x^2}{3^2\cdot 3}+\frac{x^3}{3^3\cdot 4}+\frac{x^4}{3^4\cdot 5}+...=

=\frac{1}{3^0\cdot 1}x^0+\frac{1}{3\cdot 2}x^1+\frac{1}{3^2\cdot 3}x^2+\frac{1}{3^3\cdot 4}x^3+\frac{1}{3^4\cdot 5}x^4+...

נגדיר

a_n=\frac{1}{(n+1)3^n}

ונקבל שהטור שלנו הוא

\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)3^n} x^n

הערה: לאחר שמוצאים את הנוסחה של הטור, מומלץ להציב את האיברים הראשונים ולוודא שמקבלים את איברי הטור. אם לא, יש טעות בחישוב האיבר הכללי או טעות בקביעת טווח הטור (מאיזה n מתחילים).

נמצא את רדיוס ההתכנסות של הטור בעזרת משפט קושי-אדמר:

R=\lim_{n\rightarrow \infty} |\frac{a_n}{a_{n+1}}|=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{(n+1)3^n}}{\frac{1}{(n+2)3^{(n+1)}}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{(n+2)3^{(n+1)}}{(n+1)3^n}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{3(n+2)}{n+1}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{3n+6}{n+1}=

נחלק מונה ומכנה בחזקה הגבוהה ביותר:

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{3n+6}{n}}{\frac{n+1}{n}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{3+\frac{6}{n}}{1+\frac{1}{n}}=

נציב אינסוף ונקבל:

=\frac{3+0}{1+0}=\frac{3}{1}=3

לכן, הטור מתכנס בהחלט כאשר מתקיים:

|x|<3

כלומר, תחום ההתכנסות של הטור הוא

(-3,3)

נבדוק את קצות התחום. קצה אחד הוא הנקודה

x=3

נציב את הנקודה בטור החזקות ונקבל את טור המספרים:

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)3^n} 3^n

=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1}

זה טור חיובי. נוכיח שהוא מתבדר בעזרת מבחן האינטגרלראשית, איברי הטור חיוביים לכל n. שנית, לכל n מתקיים:

n+1<n+2

מכאן, מתקיים:

\frac{1}{n+1}>\frac{1}{n+2}

זה אומר שהסדרה מונוטונית יורדת. שני התנאים של מבחן האינטגרל מתקיימים, לכן נוכל להשתמש במבחן זה.

לשם כך, נגדיר פונקציה שתקיים:

f(n)=\frac{1}{n+1}

כלומר, נגדיר את הפונקציה:

f(x) =\frac{1}{x+1}

כעת, נחשב את האינטגרל על הפונקציה. גבולות האינטגרציה יהיו קצות התחום של הטור המקורי. נקבל:

\int_0^{\infty} \frac{1}{x+1}dx=

זה אינטגרל לא אמיתי עם גבול אינטגרציה אינסופי. לכן, נוסיף גבול לאינסוף ונקבל:

=\lim_{t\rightarrow \infty}\int_0^{t} \frac{1}{x+1}dx=

קיבלנו אינטגרל מיידי. נשתמש בנוסחת אינטגרל המתאימה ונקבל:

=\lim_{t\rightarrow \infty}[\ln(x+1)]_{0}^{t}=

נציב את גבולות האינטגרציה (גבול עליון פחות גבול תחתון):

=\lim_{t\rightarrow \infty}(\ln(t+1)-\ln(0+1))=

=\lim_{t\rightarrow \infty}(\ln(t+1)-0)=

נציב אינסוף ונקבל:

=(\ln(\infty)-0)=\infty

קיבלנו תוצאה אינסופית, ולכן האינטגרל מתבדר. מכאן, לפי מבחן האינטגרל, גם הטור מתבדר.

נבדוק את הקצה השני של תחום ההתכנסות:

x=-3

נציב את הנקודה בטור החזקות ונקבל את טור המספרים:

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)3^n} {(-3)}^n

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{(-1)}^n}{n+1}

הטור אינו טור חיובי אלא טור מחליף סימן. לכן, נבדוק אם הטור מתכנס בהחלט. נמצא את הטור בערך מוחלט:

\sum_{n=0}^{\infty} |\frac{{(-1)}^n}{n+1}|=

=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1}

וזה טור מתבדר כפי שראינו לעיל. לכן, נמשיך לבדוק אם הטור

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{(-1)}^n}{n+1}

 מתכנס בתנאי בעזרת מבחן לייבניץ. לשם כך, נגדיר את הסדרה:

{\{\frac{1}{n+1}\}}_{n=0}^{\infty}

איברי הסדרה הם האיבר הכללי של הטור ללא החלפת הסימן. כעת, נבדוק את שני התנאים של מבחן לייבניץ. התנאי הראשון – צריך לבדוק שהאיבר הכללי של הסדרה שואף לאפס:

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n+1}=0

מכיוון שהגבול שווה לאפס, נמשיך לבדוק את התנאי השני – צריך לבדוק שהסדרה מונוטונית יורדת – היא יורדת כפי שראינו לעיל.

מכאן, שני התנאים מתקיימים, ולכן ממבחן לייבניץ נובע שהטור

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{(-1)}^n}{n+1}

מתכנסמכיוון שקיבלנו שהטור אינו מתכנס בהחלט, נובע שהטור מתכנס בתנאי.

תשובה סופית – הטור מתכנס בהחלט בתחום

(-3,3)

מתכנס בתנאי בנקודה

x=-3

ומתבדר בנקודה

x=3

מצאתם טעות? יש לכם שאלה בנוגע לפתרון זה? השאירו תגובה למטה.
רוצים פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספרו לי כאן

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה