תרגיל
מצאו את תחום ההתכנסות (בהחלט ובתנאי) של הטור:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}
תשובה סופית
פתרון מפורט
נגדיר
a_n=\frac{1}{n!}
ונקבל שהטור שלנו הוא
\sum_{n=1}^{\infty} a_nx^n=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}x^n
נמצא את רדיוס ההתכנסות של הטור בעזרת משפט קושי-אדמר:
R=\lim_{n\rightarrow \infty} |\frac{a_n}{a_{n+1}}|=
=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=
=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{|\frac{1}{n!}|}{|\frac{1}{(n+1)!}|}=
=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n!}}{\frac{1}{(n+1)!}}=
=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{(n+1)!}{n!}=
=\lim_{n\rightarrow \infty}n+1=\infty
לכן, הטור מתכנס בהחלט כאשר מתקיים:
|x|<\infty
כלומר, תחום ההתכנסות של הטור הוא
(-\infty,\infty)
תשובה סופית – הטור מתכנס בהחלט לכל x.
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
