fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורי חזקות – תחום התכנסות בהחלט ובתנאי לטור עם עצרת במכנה – תרגיל 2976

תרגיל 

מצאו את תחום ההתכנסות (בהחלט ובתנאי) של הטור:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}

תשובה סופית


(-\infty,\infty)

פתרון

נגדיר

a_n=\frac{1}{n!}

ונקבל שהטור שלנו הוא

\sum_{n=1}^{\infty} a_nx^n=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}x^n

נמצא את רדיוס ההתכנסות של הטור בעזרת משפט קושי-אדמר:

R=\lim_{n\rightarrow \infty} |\frac{a_n}{a_{n+1}}|=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{|\frac{1}{n!}|}{|\frac{1}{(n+1)!}|}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n!}}{\frac{1}{(n+1)!}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{(n+1)!}{n!}=

=\lim_{n\rightarrow \infty}n+1=\infty

לכן, הטור מתכנס בהחלט כאשר מתקיים:

|x|<\infty

כלומר, תחום ההתכנסות של הטור הוא

(-\infty,\infty)

תשובה סופית – הטור מתכנס בהחלט לכל x.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה