תרגיל
מצאו את תחום ההתכנסות (בהחלט ובתנאי) של הטור:
\sum_{n=1}^{\infty} n! x^{n-1}
תשובה סופית
פתרון מפורט
אפשר להשתמש בטור כמו שהוא, אבל אפשר גם לסדר אותו, כדי שיהיה בדיוק כמו טור חזקות במשפט כך:
\sum_{n=1}^{\infty} n! x^{n-1}=
=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)! x^{n}
הערה: אם משנים את הנוסחה של הטור, מומלץ להציב את האיברים הראשונים ולוודא שמקבלים את איברי הטור. אם לא, יש טעות בחישוב האיבר הכללי או טעות בקביעת טווח הטור (מאיזה n מתחילים).
נגדיר
a_n=(n+1)!
נמצא את רדיוס ההתכנסות של הטור בעזרת משפט קושי-אדמר:
R=\lim_{n\rightarrow \infty} |\frac{a_n}{a_{n+1}}|=
=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=
=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{|(n+1)!|}{|((n+1)+1)!|}=
=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{(n+1)!}{(n+2)!}=
=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n+2}=0
לכן, הטור מתכנס בהחלט כאשר מתקיים:
|x|<0
כלומר,הטור מתבדר לכל x.
שימו לב לא לפספס את הנקודה אפס. נבדוק את הנקודה. נציב אותה בטור ונקבל:
\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)! 0^{n}=0<\infty
מקבלים שבנקודה אפס סכום הטור הוא סופי, ולכן הטור מתכנס בנקודה זו.
תשובה סופית – הטור מתכנס רק בנקודה
x=0
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
