fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורי חזקות – תחום התכנסות בהחלט ובתנאי לטור עם עצרת – תרגיל 2979

תרגיל 

מצאו את תחום ההתכנסות (בהחלט ובתנאי) של הטור:

\sum_{n=1}^{\infty} n! x^{n-1}

תשובה סופית


x=0

פתרון

אפשר להשתמש בטור כמו שהוא, אבל אפשר גם לסדר אותו, כדי שיהיה בדיוק כמו טור חזקות במשפט כך:

\sum_{n=1}^{\infty} n! x^{n-1}=

=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)! x^{n}

הערה: אם משנים את הנוסחה של הטור, מומלץ להציב את האיברים הראשונים ולוודא שמקבלים את איברי הטור. אם לא, יש טעות בחישוב האיבר הכללי או טעות בקביעת טווח הטור (מאיזה n מתחילים).

נגדיר

a_n=(n+1)!

נמצא את רדיוס ההתכנסות של הטור בעזרת משפט קושי-אדמר:

R=\lim_{n\rightarrow \infty} |\frac{a_n}{a_{n+1}}|=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{|(n+1)!|}{|((n+1)+1)!|}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{(n+1)!}{(n+2)!}=

=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n+2}=0

לכן, הטור מתכנס בהחלט כאשר מתקיים:

|x|<0

כלומר,הטור מתבדר לכל x. 

שימו לב לא לפספס את הנקודה אפס. נבדוק את הנקודה. נציב אותה בטור ונקבל:

\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)! 0^{n}=0<\infty

מקבלים שבנקודה אפס סכום הטור הוא סופי, ולכן הטור מתכנס בנקודה זו.

תשובה סופית – הטור מתכנס רק בנקודה

x=0

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה