טור פונקציות | טור חזקות – הגדרה ומשפטים

טורי פונקציות

טור מהצורה

\sum_{n=0}^{\infty}f_n(x)=f_1 (x)+f_2(x)+f_3(x)+... 

(כלומר איבריו הם פונקציות התלויות ב-n וב-x) נקרא טור פונקציות.

שימו לב שכאשר מציבים בטור נקודה כלשהי במקום המשתנה x מקבלים טור רגיל (טור מספרי). לאוסף כל הנקודות, שבהן הטור מתכנס, קוראים תחום ההתכנסות של הטור. 

לחצו כאן לתרגילים ופתרונות בנושא טורי פונקציות

טורי חזקות

טור מהצורה

\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n

או מהצורה

\sum_{n=0}^{\infty}a_n{(x-x_0)}^n

נקרא טור חזקות.

משפט

1. אם טור חזקות מתכנס עבור נקודה כלשהי

x_0

אז הוא מתכנס בהחלט לכל x המקיים

|x|<|x_0|

2. לכל טור חזקות קיים R

0\leq R\leq\infty

כך שהטור מתכנס בהחלט עבור

|x|<R

ומתבדר עבור

|x|>R

משפט קושי-אדמר

בהינתן טור

\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n

רדיוס ההתכנסות שלו הוא

R=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}

או

R=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}, a_{n+1}\neq 0

הערה: מהמשפט מקבלים שרדיוס ההתכנסות של טור חזקות הוא מהצורה 

(-R, R)

שימו לב שהמשפט נותן לנו קטע פתוח. את קצות הקטע צריך לבדוק בנפרד.

לחצו כאן לתרגילים ופתרונות בנושא טורי חזקות

פתרון מפורט בוידאו

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂