fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

פיתוח פונקציות לטור חזקות – תחום התכנסות בהחלט ובתנאי לטור עם ln – תרגיל 3002

תרגיל 

פתחו את הפונקציה:

f(x)=\ln (x+2)

לטור חזקות ומצאו את תחום ההתכנסות (בהחלט ובתנאי) של הטור.

תשובה סופית


(-2,2]

פתרון

נסדר את הפונקציה, כדי להשתמש בטור מקלורן של פונקציית ln.

f(x)=\ln (x+2)=\ln(2(\frac{x}{2}+1))=

=\ln 2 +\ln(\frac{x}{2}+1)=

=\ln 2 +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)}^{n+1}}{n}\cdot {(\frac{x}{2})}^n=

=\ln 2 +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)}^{n+1}}{n2^n}\cdot x^n

שימו לב שקיבלנו טור בתוספת ln2 מחוץ לטור, אבל מתכונה 1 בתכונות טורים אנו יודעים שזה אינו משפיע על התבדרות או התכנסות הטור. לכן, מספיק לבדוק את ההתכנסות של טור החזקות:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)}^{n+1}}{n2^n}\cdot x^n

לשם כך, נגדיר:

a_n=\frac{{(-1)}^{n+1}}{n2^n}

ונמצא את רדיוס ההתכנסות של הטור בעזרת משפט קושי-אדמר:

R=\lim_{n\rightarrow \infty} |\frac{a_n}{a_{n+1}}|=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{|\frac{{(-1)}^{n+1}}{n2^n}|}{|\frac{{(-1)}^{n+2}}{(n+1)2^{n+1}}|}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n2^n}}{\frac{1}{(n+1)2^{n+1}}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{(n+1)2^{n+1}}{n2^n}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{2(n+1)}{n}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{2n+2}{n}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} 2+\frac{2}{n}=

נציב אינסוף ונקבל:

=2+0=2

לכן, הטור מתכנס בהחלט כאשר מתקיים:

|x|<2

כלומר, תחום ההתכנסות של הטור הוא

-2<x<2

נבדוק את קצות התחום. נציב את הנקודה x=2 בטור המקורי ונקבל את טור המספרים:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)}^{n+1}}{n2^n}\cdot 2^n=

=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)}^{n+1}}{n}

הטור אינו טור חיובי אלא טור מחליף סימן. לכן, נבדוק אם הטור מתכנס בהחלט. נמצא את הטור בערך מוחלט:

\sum_{n=1}^{\infty}|\frac{{(-1)}^{n+1}}{n}|

=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}

קיבלנו טור חיובי, אך הוא טור הרמוני מתבדר. לכן, הטור אינו מתכנס בהחלט. נמשיך לבדוק אם הוא מתכנס בתנאי. מכיוון שהוא מחליף סימן, נשתמש במבחן לייבניץלשם כך, נגדיר את הסדרה:

{\{\frac{1}{n}\}}_{n=1}^{\infty}

איברי הסדרה הם האיבר הכללי של הטור ללא החלפת הסימן. כעת, נבדוק את שני התנאים של מבחן לייבניץ. התנאי הראשון – צריך לבדוק שהאיבר הכללי של הסדרה שואף לאפס:

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0

מכיוון שהגבול שווה לאפס, נמשיך לבדוק את התנאי השני – צריך לבדוק שהסדרה מונוטונית יורדת. לכל n בתחום מתקיים:

n<n+1

לכן, גם מתקיים:

\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}

וקיבלנו שהסדרה מונוטונית יורדת.

מכאן, שני התנאים מתקיימים, ולכן ממבחן לייבניץ נובע שהטור

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)}^{n+1}}{n}

מתכנסמכיוון שקיבלנו שהטור אינו מתכנס בהחלט, נובע שהטור מתכנס בתנאי.

נבדוק את הקצה השני של תחום ההתכנסות:

x=-2

נציב את הנקודה בטור החזקות ונקבל את טור המספרים:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)}^{n+1}}{n2^n}\cdot {(-2)}^n=

=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)}^{n+1}}{n2^n}\cdot {(-1)}^n\cdot 2^n=

=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)}^{n+1}}{n}\cdot {(-1)}^n=

=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)}^{n+1+n}}{n}=

=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)}^{2n+1}}{n}=

שימו לב שלכל n נקבל את השוויון

{(-1)}^{2n+1}=-1

נציב בטור ונקבל

=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{-1}{n}=

מתכונה 2 בתכונות טורים אפשר להוציא קבוע מחוץ לטור:

=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}

וקיבלנו טור חיובי, אך הוא טור הרמוני מתבדר.

תשובה סופית – הטור מתכנס בהחלט בתחום

(-2,2)

מתכנס בתנאי בנקודה

x=2

ומתבדר בנקודה

x=-2

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה