fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

פיתוח פונקציות לטור חזקות – תחום התכנסות בהחלט ובתנאי לטור הנדסי (גיאומטרי) – תרגיל 3040

תרגיל 

פתחו את הפונקציה:

f(x)=\frac{1}{x+3}

לטור חזקות ומצאו את תחום ההתכנסות (בהחלט ובתנאי) של הטור.

תשובה סופית


(-3,3)

פתרון

נסדר את הפונקציה, כדי להשתמש בפיתוח של טור הנדסי:

f(x)=\frac{1}{x+3}=

=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{\frac{x}{3}+1}=

=\frac{1}{3}\cdot \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)}^n {(\frac{x}{3})}^n=

=\frac{1}{3}\cdot \sum_{n=0}^{\infty}\frac{{(-1)}^n}{3^{n+1}} x^n

שימו לב שקיבלנו כפל בקבוע מחוץ לטור, אבל מתכונה 2 בתכונות טורים אנו יודעים שזה אינו משפיע על התבדרות או התכנסות הטור. לכן, מספיק לבדוק את ההתכנסות של טור החזקות:

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{(-1)}^n}{3^{n+1}} x^n

לשם כך, נגדיר:

a_n=\frac{{(-1)}^n}{3^{n+1}}

ונמצא את רדיוס ההתכנסות של הטור בעזרת משפט קושי-אדמר:

R=\lim_{n\rightarrow \infty} |\frac{a_n}{a_{n+1}}|=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{|\frac{{(-1)}^n}{3^{n+1}}|}{|\frac{{(-1)}^{n+1}}{3^{n+2}}|}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{3^{n+1}}}{\frac{1}{3^{n+2}}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{3^{n+2}}{3^{n+1}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} 3=3

לכן, הטור מתכנס בהחלט כאשר מתקיים:

|x|<3

כלומר, תחום ההתכנסות של הטור הוא

-3<x<3

נבדוק את קצות התחום. נציב את הנקודה x=3 בטור המקורי ונקבל את טור המספרים:

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{(-1)}^n}{3^{n+1}} 3^n=

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{(-1)}^n}{3}=

שוב ניעזר בתכונה 2 בתכונות טורים. נוציא את הקבוע מחוץ לטור ונקבל:

=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)}^n

נבדוק אם התנאי ההכרחי להתכנסות מתקיים. לשם כך, נחשב את הגבול:

\lim_{n\rightarrow \infty} {(-1)}^n

אבל גבול זה אינו קיים. מכיוון שהגבול אינו אפס, שוב מתנאי הכרחי להתכנסות  מקבלים שהטור מתבדר.

נבדוק את הקצה השני של תחום ההתכנסות:

x=-3

נציב את הנקודה בטור החזקות ונקבל את טור המספרים:

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{(-1)}^n}{3^{n+1}} {(-3)}^n=

=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{(-1)}^n}{3^{n+1}} {(-1)}^n\cdot 3^n=

=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{(-1)}^n}{3} {(-1)}^n=

=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{(-1)}^{2n}}{3}=

=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{3}=

=\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}1

שוב נבדוק אם התנאי ההכרחי להתכנסות מתקיים. לשם כך, נחשב את הגבול:

\lim_{n\rightarrow \infty} 1=1\neq 0

מכיוון שהגבול על האיבר הכללי של הטור אינו שואף לאפס, מתנאי הכרחי להתכנסות נובע שהטור מתבדר.

תשובה סופית – הטור מתכנס בהחלט בתחום

(-3,3)

ומתבדר בקצוות.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה