fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

פיתוח פונקציות לטור חזקות – תחום התכנסות בהחלט ובתנאי לטור עם e – תרגיל 3034

תרגיל 

פתחו את הפונקציה:

f(x)=e^{2x}

לטור חזקות ומצאו את תחום ההתכנסות (בהחלט ובתנאי) של הטור.

תשובה סופית


(-\infty,\infty)

פתרון

נשתמש בטור מקלורן של פונקציה מעריכית עם בסיס e ונקבל:

f(x)=e^{2x}=

=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}{(2x)}^n=

=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}2^n\cdot x^n=

=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^n}{n!} x^n=

נגדיר:

a_n=\frac{2^n}{n!}

ונמצא את רדיוס ההתכנסות של הטור בעזרת משפט קושי-אדמר:

R=\lim_{n\rightarrow \infty} |\frac{a_n}{a_{n+1}}|=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{|\frac{2^n}{n!} |}{|\frac{2^{(n+1)}}{(n+1)!}|}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{2^n}{n!}}{\frac{2^{(n+1)}}{(n+1)!}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{2^n}{n!}\cdot\frac{(n+1)!}{2^{(n+1)}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n+1}{2}=

נציב אינסוף ונקבל:

=\frac{\infty}{2}=\infty

לכן, הטור מתכנס בהחלט כאשר מתקיים:

|x|<\infty

תשובה סופית – הטור מתכנס בהחלט בתחום

(-\infty,\infty)

כלומר לכל x.

פתרון מפורט בוידאו

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה