תרגיל
פתחו את הפונקציה:
f(x)=e^{2x}
לטור חזקות ומצאו את תחום ההתכנסות (בהחלט ובתנאי) של הטור.
תשובה סופית
פתרון מפורט
נשתמש בטור מקלורן של פונקציה מעריכית עם בסיס e ונקבל:
f(x)=e^{2x}=
=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}{(2x)}^n=
=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}2^n\cdot x^n=
=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^n}{n!} x^n=
נגדיר:
a_n=\frac{2^n}{n!}
ונמצא את רדיוס ההתכנסות של הטור בעזרת משפט קושי-אדמר:
R=\lim_{n\rightarrow \infty} |\frac{a_n}{a_{n+1}}|=
=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=
=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{|\frac{2^n}{n!} |}{|\frac{2^{(n+1)}}{(n+1)!}|}=
=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{2^n}{n!}}{\frac{2^{(n+1)}}{(n+1)!}}=
=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{2^n}{n!}\cdot\frac{(n+1)!}{2^{(n+1)}}=
=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n+1}{2}=
נציב אינסוף ונקבל:
=\frac{\infty}{2}=\infty
לכן, הטור מתכנס בהחלט כאשר מתקיים:
|x|<\infty
תשובה סופית – הטור מתכנס בהחלט בתחום
(-\infty,\infty)
כלומר לכל x.
פתרון מפורט בוידאו
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
