fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

פיתוח פונקציות לטור חזקות – תחום התכנסות בהחלט ובתנאי לטור עם ln – תרגיל 3031

תרגיל 

פתחו את הפונקציה:

f(x)=x\ln (1+x)

לטור חזקות ומצאו את תחום ההתכנסות (בהחלט ובתנאי) של הטור.

תשובה סופית


(-1,1]

פתרון

נסדר את הפונקציה, כדי להשתמש בטור מקלורן של פונקציית ln.

f(x)=x\ln (1+x)=

=x\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)}^{n+1}}{n}x^n=

=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)}^{n+1}}{n}x^{n+1}=

=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)}^{n+1}}{n}x^{n+1}=

נגדיר

k=n+1

ונקבל את הטור

=\sum_{k=2}^{\infty}\frac{{(-1)}^{k}}{k-1}x^{k}

קיבלנו טור חזקות. נבדוק את התכנסות הטור. לשם כך, נגדיר:

a_k=\frac{{(-1)}^{k}}{k-1}

ונמצא את רדיוס ההתכנסות של הטור בעזרת משפט קושי-אדמר:

R=\lim_{k\rightarrow \infty} |\frac{a_k}{a_{k+1}}|=

=\lim_{k\rightarrow \infty} \frac{|a_k|}{|a_{k+1}|}=

=\lim_{k\rightarrow \infty} \frac{|\frac{{(-1)}^{k}}{k-1}|}{|\frac{{(-1)}^{k+1}}{k+1-1}|}=

=\lim_{k\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{k-1}}{\frac{1}{k}}=

=\lim_{k\rightarrow \infty} \frac{k}{k-1}=

נחלק מונה ומכנה בחזקה הגבוהה ביותר:

=\lim_{k\rightarrow \infty} \frac{\frac{k}{k}}{\frac{k-1}{k}}=

=\lim_{k\rightarrow \infty} \frac{1}{1-\frac{1}{k}}=

נציב אינסוף ונקבל:

=\frac{1}{1-0}=1

לכן, הטור מתכנס בהחלט כאשר מתקיים:

|x|<1

כלומר, תחום ההתכנסות של הטור הוא

-1<x<1

נבדוק את קצות התחום. נציב את הנקודה x=1 בטור המקורי ונקבל את טור המספרים:

\sum_{k=2}^{\infty}\frac{{(-1)}^{k}}{k-1}1^{k}=

=\sum_{k=2}^{\infty}\frac{{(-1)}^{k}}{k-1}

הטור אינו טור חיובי אלא טור מחליף סימן. לכן, נבדוק אם הטור מתכנס בהחלט. נמצא את הטור בערך מוחלט:

\sum_{k=2}^{\infty}|\frac{{(-1)}^{k}}{k-1}|=

=\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k-1}

זה טור חיובי. נוכיח שהוא מתבדר בעזרת מבחן האינטגרלראשית, איברי הטור חיוביים לכל k בתחום. שנית, לכל k מתקיים:

k-1<(k+1)-1=k

מכאן, מתקיים:

\frac{1}{k-1}>\frac{1}{k}

זה אומר שהסדרה מונוטונית יורדת. שני התנאים של מבחן האינטגרל מתקיימים, לכן נוכל להשתמש במבחן זה.

לשם כך, נגדיר פונקציה שתקיים:

f(k)=\frac{1}{k-1}

כלומר, נגדיר את הפונקציה:

f(x) =\frac{1}{x-1}

כעת, נחשב את האינטגרל על הפונקציה. גבולות האינטגרציה יהיו קצות התחום של הטור המקורי. נקבל:

\int_2^{\infty} \frac{1}{x-1}dx=

זה אינטגרל לא אמיתי עם גבול אינטגרציה אינסופי. לכן, נוסיף גבול לאינסוף ונקבל:

=\lim_{t\rightarrow \infty}\int_2^{t} \frac{1}{x-1}dx=

קיבלנו אינטגרל מיידי. נשתמש בנוסחת אינטגרל המתאימה ונקבל:

=\lim_{t\rightarrow \infty}[\ln(x-1)]_{2}^{t}=

נציב את גבולות האינטגרציה (גבול עליון פחות גבול תחתון):

=\lim_{t\rightarrow \infty}(\ln(t-1)-\ln(2-1))=

=\lim_{t\rightarrow \infty}(\ln(t-1)-\ln 1)=

נציב אינסוף ונקבל:

=\ln(\infty) - 0=\infty

קיבלנו תוצאה אינסופית, ולכן האינטגרל מתבדר. מכאן, לפי מבחן האינטגרל, גם הטור מתבדרלכן, הטור אינו מתכנס בהחלט. נמשיך לבדוק אם הוא מתכנס בתנאי. מכיוון שהוא מחליף סימן, נשתמש במבחן לייבניץלשם כך, נגדיר את הסדרה:

{\{\frac{1}{k-1}\}}_{k=2}^{\infty}

איברי הסדרה הם האיבר הכללי של הטור ללא החלפת הסימן. כעת, נבדוק את שני התנאים של מבחן לייבניץ. התנאי הראשון – צריך לבדוק שהאיבר הכללי של הסדרה שואף לאפס:

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{k-1}=0

מכיוון שהגבול שווה לאפס, נמשיך לבדוק את התנאי השני – צריך לבדוק שהסדרה מונוטונית יורדת. וראינו שהסדרה מונוטונית יורדת במבחן האינטגרל לעיל.

מכאן, שני התנאים מתקיימים, ולכן ממבחן לייבניץ נובע שהטור

\sum_{k=2}^{\infty}\frac{{(-1)}^{k}}{k-1}

מתכנסמכיוון שקיבלנו שהטור אינו מתכנס בהחלט, נובע שהטור מתכנס בתנאי.

נבדוק את הקצה השני של תחום ההתכנסות:

x=-1

נציב את הנקודה בטור החזקות ונקבל את טור המספרים:

\sum_{k=2}^{\infty}\frac{{(-1)}^{k}}{k-1}{(-1)}^{k}=

=\sum_{k=2}^{\infty}\frac{{(-1)}^{2k}}{k-1}=

=\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k-1}=

קיבלנו טור חיובי, אבל ראינו לעיל בעזרת מבחן האינטגרל שהוא טור מתבדר.

תשובה סופית – הטור מתכנס בהחלט בתחום

(-1,1)

מתכנס בתנאי בנקודה

x=1

ומתבדר בנקודה

x=-1

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה