fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

פיתוח פונקציות לטור חזקות – תחום התכנסות בהחלט ובתנאי לטור עם cos – תרגיל 3048

תרגיל 

פתחו את הפונקציה: 

f(x)=\cos \sqrt{x}

לטור חזקות ומצאו את תחום ההתכנסות (בהחלט ובתנאי) של הטור.

תשובה סופית


[0,\infty)

פתרון

נשתמש בטור מקלורן של פונקציית cos ונקבל:

f(x)=\cos \sqrt{x}=

=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{(-1)}^n}{(2n)!}{\sqrt{x}}^{2n}=

=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{(-1)}^n}{(2n)!}x^n

נגדיר:

a_n=\frac{{(-1)}^n}{(2n)!}

ונמצא את רדיוס ההתכנסות של הטור בעזרת משפט קושי-אדמר:

R=\lim_{n\rightarrow \infty} |\frac{a_n}{a_{n+1}}|=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{|\frac{{(-1)}^n}{(2n)!}|}{|\frac{{(-1)}^{n+1}}{(2(n+1)!}|}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{(2n)!}}{\frac{1}{(2(n+1)!}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{(2(n+1)!}{(2n)!}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{(2n+2)!}{(2n)!}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} (2n+1)(2n+2)=

נציב אינסוף ונקבל:

=\infty\cdot \infty=\infty

לכן, הטור מתכנס בהחלט כאשר מתקיים:

|x|<\infty

אבל שימו לב שתחום ההגדרה של הטור (המקורי) הוא

x\geq 0

בגלל ש-x בתוך שורש. לכן, נחתוך את התשובה שלנו עם תחום ההגדרה בקשר “וגם” ונקבל:

x\geq 0

תשובה סופית – הטור מתכנס בהחלט בתחום

x\geq 0

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה