fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

פיתוח פונקציות לטור חזקות – תחום התכנסות בהחלט ובתנאי לטור עם sin – תרגיל 3043

תרגיל 

פתחו את הפונקציה: 

f(x)=\sin (2x)

לטור חזקות ומצאו את תחום ההתכנסות (בהחלט ובתנאי) של הטור.

תשובה סופית


(-\infty,\infty)

פתרון

נשתמש בטור מקלורן של פונקציית sin ונקבל:

f(x)=\sin (2x)=

=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{(-1)}^n}{(2n+1)!}{(2x)}^{2n+1}=

=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{(-1)}^n}{(2n+1)!}2^{2n+1}\cdot x^{2n+1}=

=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{(-1)}^n\cdot 2^{2n+1}}{(2n+1)!} x^{2n+1}

במקום לנסות לסדר את הטור לפי משפט קושי-אדמר לטור חזקות מהצורה:

\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n

נבדוק התכנסות כמו שבדקנו בטורים מספריים. מכיוון שהטור יכול להיות שלילי עבור x-ים מסוימים, נתחיל מבדיקת התכנסות בהחלט. לשם כך, נמצא את הטור בערך מוחלט:

\sum_{n=0}^{\infty}|\frac{{(-1)}^n\cdot 2^{2n+1}}{(2n+1)!} x^{2n+1}|=

=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{2n+1}}{(2n+1)!} |x|^{2n+1}

כלומר, קיבלנו טור שהאיבר הכללי שלו בערך מוחלט הוא:

|a_n|=\frac{2^{2n+1}}{(2n+1)!} |x|^{2n+1}

עכשיו נבדוק את התכנסות הטור בעזרת מבחן התכנסות לטורים חיוביים, כאילו מדובר בטור מספרים. מכיוון שיש לנו באיבר הכללי חזקה ועצרת, נשתמש במבחן דלמבר. לכן, נחשב את הגבול:

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{2^{2(n+1)+1}}{(2(n+1)+1)!} |x|^{2(n+1)+1}}{\frac{2^{2n+1}}{(2n+1)!} |x|^{2n+1}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{2^{2n+3}}{(2n+3)!} |x|^{2n+3}}{\frac{2^{2n+1}}{(2n+1)!} |x|^{2n+1}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{2^{2n+3}}{(2n+3)!} |x|^{2n+3}\cdot\frac{(2n+1)!}{2^{2n+1}}\cdot\frac{1}{ |x|^{2n+1}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{2^2\cdot |x|^2}{(2n+2)(2n+3)}=

שימו לב שהמשתנה בגבול הוא n, ואילו x הוא קבוע. נציב n שואף לאינסוף ונקבל:

=\frac{2^2\cdot |x|^2}{\infty}=0<1

מכיוון שקיבלנו תוצאה קטנה מאחד לכל x, אפשר להסיק ממבחן דלמבר שהטור (בערך מוחלט) מתכנס לכל x.

לכן, הטור

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{(-1)}^n\cdot 2^{2n+1}}{(2n+1)!} x^{2n+1}

מתכנס בהחלט לכל x.

תשובה סופית – הטור מתכנס בהחלט בתחום

(-\infty,\infty)

כלומר לכל x.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה