תרגיל
פתחו את הפונקציה:
f(x)=e^{x+4}
לטור חזקות ומצאו את תחום ההתכנסות (בהחלט ובתנאי) של הטור.
תשובה סופית
פתרון מפורט
נשתמש בטור מקלורן של פונקציה מעריכית עם בסיס e ונקבל:
f(x)=e^{x+4}=
=e^4\cdot e^x=
=e^4 \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} x^n
מתכונה 2 בתכונות טורים אנו יודעים שכפל בקבוע אינו משפיע על התכנסות או על התבדרות הטור. לכן, אפשר לבדוק את ההתכנסות של הטור:
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} x^n
לשם כך, נגדיר:
a_n=\frac{1}{n!}
ונמצא את רדיוס ההתכנסות של הטור בעזרת משפט קושי-אדמר:
R=\lim_{n\rightarrow \infty} |\frac{a_n}{a_{n+1}}|=
=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=
=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{|\frac{1}{n!}|}{|\frac{1}{(n+1)!}|}=
=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n!}}{\frac{1}{(n+1)!}}=
=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{(n+1)!}{n!}=
=\lim_{n\rightarrow \infty} n+1=
נציב אינסוף ונקבל:
=\infty+1=\infty
לכן, הטור מתכנס בהחלט כאשר מתקיים:
|x|<\infty
תשובה סופית – הטור מתכנס בהחלט בתחום
(-\infty,\infty)
כלומר לכל x.
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
