fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

פיתוח פונקציות לטור חזקות – תחום התכנסות בהחלט ובתנאי לטור עם e – תרגיל 3036

תרגיל 

פתחו את הפונקציה:

f(x)=e^{x+4}

לטור חזקות ומצאו את תחום ההתכנסות (בהחלט ובתנאי) של הטור.

תשובה סופית


(-\infty,\infty)

פתרון

נשתמש בטור מקלורן של פונקציה מעריכית עם בסיס e ונקבל:

f(x)=e^{x+4}=

=e^4\cdot e^x=

=e^4 \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} x^n

מתכונה 2 בתכונות טורים אנו יודעים שכפל בקבוע אינו משפיע על התכנסות או על התבדרות הטור. לכן, אפשר לבדוק את ההתכנסות של הטור:

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} x^n

לשם כך, נגדיר:

a_n=\frac{1}{n!}

ונמצא את רדיוס ההתכנסות של הטור בעזרת משפט קושי-אדמר:

R=\lim_{n\rightarrow \infty} |\frac{a_n}{a_{n+1}}|=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{|\frac{1}{n!}|}{|\frac{1}{(n+1)!}|}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n!}}{\frac{1}{(n+1)!}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{(n+1)!}{n!}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} n+1=

נציב אינסוף ונקבל:

=\infty+1=\infty

לכן, הטור מתכנס בהחלט כאשר מתקיים:

|x|<\infty

תשובה סופית – הטור מתכנס בהחלט בתחום

(-\infty,\infty)

כלומר לכל x.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה