fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

תחום הגדרה במספר משתנים – פונקציה עם שורש ו-ln – תרגיל 3191

תרגיל 

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה:

z(x,y)=\sqrt{\ln \frac{4}{x^2+y^2}}+x^2y\sqrt{x^2+y^2-4}

תשובה סופית


x^2+y^2=4

פתרון

נמצא את תחום ההגדרה. יש בפונקציה מכנה, ולכן נדרוש שהוא יהיה שונה מאפס:

x^2+y^2\neq 0

יש בפונקציה גם שורשים, ולכן נדרוש שהביטויים בתוך השורשים יהיו גדולים או שווים לאפס, כלומר

\ln \frac{4}{x^2+y^2}\geq 0

וגם

x^2+y^2-4\geq 0

ויש בפונקציה גם פונקציית ln, ולכן נדרוש שהביטוי בתוך ה-ln גדול מאפס, כלומר

\frac{4}{x^2+y^2}> 0

נפתור את האי-שוויון עם ה-ln:

\ln \frac{4}{x^2+y^2}\geq 0

מחוקי לוגריתמים מקבלים:

\frac{4}{x^2+y^2}\geq 1

ויחד עם האי-שוויון (קשר “וגם”):

\frac{4}{x^2+y^2}> 0

מקבלים את האי-שוויון:

\frac{4}{x^2+y^2}\geq 1

נעביר אגפים ונקבל:

4\geq x^2+y^2

נעבור לאי-שוויון:

x^2+y^2-4\geq 0

נעביר אגפים גם כאן ונקבל:

x^2+y^2\geq 4

וקיבלנו שתחום ההגדרה הוא:

4\geq x^2+y^2

וגם

4\geq x^2+y^2

יחד מקבלים:

x^2+y^2=4

וזו התשובה הסופית.

תחום ההגדרה נראה כך:

 

מעגל ברדיוס 2

תחום ההגדרה הוא מעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו 2. שימו לב תחום ההגדרה כולל רק את הנקודות שעל המעגל.

טיפ: במציאת תחום הגדרה, אפשר לבדוק את התשובה שקיבלתם – פשוט הציבו נקודה מתחום ההגדרה שמצאתם ונקודה שאינה בתחום ההגדרה. הנקודה מתחום ההגדרה צריכה לתת ערך פונקציה מוגדר, ואילו הנקודה מחוץ לתחום ההגדרה צריכה לתת לכם משהו לא מוגדר כמו אפס במכנה, שלילי בתוך שורש, ועוד.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה