fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

נגזרת חלקית – פונקציה עם arctan – תרגיל 3284

תרגיל 

חשבו את הנגזרות החלקיות של הפונקציה:

z(x,y)=\arctan\frac{y}{x}

תשובה סופית

z'_x (x,y)=\frac{-y}{x^2+y^2}

z'_y (x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}

פתרון

נחשב את הנגזרת החלקית לפי x. כשגוזרים לפי x, x הוא המשתנה ו-y נחשב לפרמטר. כעת מקבלים גזירה של משתנה אחד, ולכן אפשר להשתמש בנוסחאות גזירה של משתנה אחד. כך מקבלים:

z'_x (x,y)=\frac{1}{1+{(\frac{y}{x})}^2}\cdot\frac{-y}{x^2}=

=\frac{1}{1+\frac{y^2}{x^2}}\cdot\frac{-y}{x^2}=

=\frac{1}{\frac{x^2+y^2}{x^2}}\cdot\frac{-y}{x^2}=

=\frac{1}{x^2+y^2}\cdot(-y)=

=\frac{-y}{x^2+y^2}

שימו לב שנעזרנו בכלל ההרכבה (כלל שרשרת) מכללי הגזירה.

נחשב את הנגזרת החלקית לפי y. כשגוזרים לפי y, y הוא המשתנה ו-x נחשב לפרמטר. כעת מקבלים גזירה של משתנה אחד, ולכן אפשר להשתמש בנוסחאות גזירה של משתנה אחד. כך מקבלים:

z'_y (x,y)=\frac{1}{1+{(\frac{y}{x})}^2}\cdot\frac{1}{x}=

=\frac{1}{1+\frac{y^2}{x^2}}\cdot\frac{1}{x}=

=\frac{1}{\frac{x^2+y^2}{x^2}}\cdot\frac{1}{x}=

=\frac{1}{\frac{x^2+y^2}{x}}=

=\frac{x}{x^2+y^2}

שימו לב שנעזרנו בכלל ההרכבה (כלל שרשרת) מכללי הגזירה.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה