fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

נגזרת חלקית – פונקציה עם log – תרגיל 3286

תרגיל 

חשבו את הנגזרות החלקיות של הפונקציה:

z(x,y)={(1+\log_y x)}^3

תשובה סופית

z'_x (x,y)=\frac{3}{x\ln y}{(1+\frac{\ln x}{\ln y})}^2

z'_y (x,y)=3{(1+\frac{\ln x}{\ln y})}^2\cdot \frac{-\ln x}{y\ln^2 y}

פתרון

ראשית, נסדר את הפונקציה לביטוי קל יותר לגזירה. לשם כך, נשתמש בחוקי לוגריתמים ונקבל:

z(x,y)={(1+\log_y x)}^3={(1+\frac{\ln x}{\ln y})}^3

כעת, נחשב את הנגזרת החלקית לפי x. כשגוזרים לפי x, x הוא המשתנה ו-y נחשב לפרמטר. כעת מקבלים גזירה של משתנה אחד, ולכן אפשר להשתמש בנוסחאות גזירה של משתנה אחד. כך מקבלים:

z'_x (x,y)=3{(1+\frac{\ln x}{\ln y})}^2\cdot \frac{1}{\ln y}\cdot \frac{1}{x}

שימו לב שנעזרנו בכלל ההרכבה (כלל שרשרת) מכללי הגזירה. נסדר את הנגזרת ונקבל:

z'_x (x,y)=\frac{3}{x\ln y}{(1+\frac{\ln x}{\ln y})}^2

נחשב את הנגזרת החלקית לפי y. כשגוזרים לפי y, y הוא המשתנה ו-x נחשב לפרמטר. כעת מקבלים גזירה של משתנה אחד, ולכן אפשר להשתמש בנוסחאות גזירה של משתנה אחד. כך מקבלים:

z'_y (x,y)=3{(1+\frac{\ln x}{\ln y})}^2\cdot \ln x\cdot \frac{-1}{\ln^2 y}\cdot\frac{1}{y}

שימו לב שנעזרנו בכלל ההרכבה (כלל שרשרת) מכללי הגזירה. נסדר את הנגזרת ונקבל:

z'_y (x,y)=3{(1+\frac{\ln x}{\ln y})}^2\cdot \frac{-\ln x}{y\ln^2 y}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה