fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

נגזרת חלקית – פונקציה עם arcsin – תרגיל 3294

תרגיל 

חשבו את הנגזרות החלקיות של הפונקציה:

z(x,y)=\arcsin\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}

תשובה סופית

z'_x (x,y)=\frac{|y|}{x^2+y^2}

z'_y (x,y)=\frac{-xy}{|y|(x^2+y^2)}

פתרון

נחשב את הנגזרת החלקית לפי x. כשגוזרים לפי x, x הוא המשתנה ו-y נחשב לפרמטר. כעת מקבלים גזירה של משתנה אחד, ולכן אפשר להשתמש בנוסחאות גזירה של משתנה אחד. כך מקבלים:

z'_x (x,y)=\frac{1}{\sqrt{1-{(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}})}^2}}\cdot \frac{1\cdot \sqrt{x^2+y^2}-x\cdot\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot 2x}{{(\sqrt{x^2+y^2})}^2}

שימו לב שנעזרנו בכלל ההרכבה (כלל שרשרת) ובכלל המנה מכללי הגזירה. נסדר את הנגזרת ונקבל:

z'_x (x,y)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{x^2+y^2}}}\cdot \frac{\sqrt{x^2+y^2}-\cdot\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}}}{x^2+y^2}=

=\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2+y^2-x^2}{x^2+y^2}}}\cdot \frac{\frac{x^2+y^2-x^2}{\sqrt{x^2+y^2}}}{x^2+y^2}=

=\frac{1}{\sqrt{\frac{y^2}{x^2+y^2}}}\cdot \frac{\frac{y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}}{x^2+y^2}=

=\frac{1}{\frac{\sqrt{y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}}\cdot \frac{\frac{y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}}{x^2+y^2}=

=\frac{1}{\sqrt{y^2}}\cdot \frac{y^2}{x^2+y^2}=

=\frac{\sqrt{y^2}}{x^2+y^2}=

מהגדרת ערך מוחלט מתקיים:

|y|=\sqrt{y^2}

נציב בנגזרת ונקבל:

=\frac{|y|}{x^2+y^2}

נחשב את הנגזרת החלקית לפי y. כשגוזרים לפי y, y הוא המשתנה ו-x נחשב לפרמטר. כעת מקבלים גזירה של משתנה אחד, ולכן אפשר להשתמש בנוסחאות גזירה של משתנה אחד. כך מקבלים:

z'_y (x,y)=\frac{1}{\sqrt{1-{(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}})}^2}}\cdot x\cdot\frac{-1}{{(\sqrt{x^2+y^2})}^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot 2y

שימו לב שנעזרנו בכלל ההרכבה (כלל שרשרת) מכללי הגזירה כמה פעמים. נסדר את הנגזרת ונקבל:

z'_y (x,y)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{x^2+y^2}}}\cdot \frac{-2xy}{x^2+y^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}=

=\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2+y^2-x^2}{x^2+y^2}}}\cdot \frac{-xy}{x^2+y^2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}=

=\frac{1}{\sqrt{\frac{y^2}{x^2+y^2}}}\cdot \frac{-xy}{x^2+y^2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}=

=\frac{1}{\frac{\sqrt{y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}}\cdot \frac{-xy}{x^2+y^2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}=

=\frac{1}{\sqrt{y^2}}\cdot\frac{-xy}{x^2+y^2}=

=\frac{-xy}{\sqrt{y^2}(x^2+y^2)}=

מהגדרת ערך מוחלט מתקיים:

|y|=\sqrt{y^2}

נציב בנגזרת ונקבל:

=\frac{-xy}{|y|(x^2+y^2)}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה