תרגיל
חשבו את הנגזרות החלקיות מסדר שני (נגזרת שנייה) של הפונקציה:
z(x,y)=x^3+3xy^2-4x^2y^5+1
תשובה סופית
פתרון מפורט
נחשב את הנגזרת החלקית לפי x. כשגוזרים לפי x, x הוא המשתנה ו-y נחשב לפרמטר. כעת מקבלים גזירה של משתנה אחד, ולכן אפשר להשתמש בנוסחאות גזירה של משתנה אחד. כך מקבלים:
z'_x (x,y)=3x^2+3y^2-8y^5x
נחשב את הנגזרת החלקית לפי y. כשגוזרים לפי y, y הוא המשתנה ו-x נחשב לפרמטר. כעת מקבלים גזירה של משתנה אחד, ולכן אפשר להשתמש בנוסחאות גזירה של משתנה אחד. כך מקבלים:
z'_y (x,y)=6xy-20x^2y^4
כעת, נחשב את הנגזרות מסדר שני. נגזרת שנייה היא פשוט נגזרת על הנגזרת, כלומר גוזרים לפי חוקי נגזרת את פונקציית הנגזרת.
קיבלנו שהנגזרת לפי x היא
z'_x (x,y)=3x^2+3y^2-8y^5x
נגזור אותה לפי x ונקבל:
z''_{xx} (x,y)=6x-8y^5
נגזור אותה לפי y ונקבל:
z''_{xy} (x,y)=6y-40xy^4
קיבלנו שהנגזרת לפי y היא
z'_y (x,y)=6xy-20x^2y^4
נגזור אותה לפי y ונקבל:
z''_{yy} (x,y)=6x-80x^2y^3
נגזור אותה לפי x ונקבל:
z''_{yx} (x,y)=6y-40xy^4
שימו לב שקיבלנו:
z''_{yx} (x,y)=z''_{xy}(x,y)
זה לא במקרה. בפונקציות רציפות וגזירות, סדר הגזירה אינו משנה. כלומר, מקבלים את אותה התוצאה כאשר גוזרים קודם לפי y ואז לפי x או קודם לפי x ואז לפי y.
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
