תרגיל
חשבו את הנגזרות החלקיות מסדר שני (נגזרת שנייה) של הפונקציה:
u(x,y,z)=xy+yz+zx
תשובה סופית
פתרון מפורט
נחשב את הנגזרת החלקית לפי x. כשגוזרים לפי x, x הוא המשתנה ו-y,z נחשבים לפרמטרים. כעת מקבלים גזירה של משתנה אחד, ולכן אפשר להשתמש בנוסחאות גזירה של משתנה אחד. כך מקבלים:
u'_x (x,y,z)=y+z
נחשב את הנגזרת החלקית לפי y. כשגוזרים לפי y, y הוא המשתנה ו-x,z נחשבים לפרמטרים. כעת מקבלים גזירה של משתנה אחד, ולכן אפשר להשתמש בנוסחאות גזירה של משתנה אחד. כך מקבלים:
u'_y (x,y,z)=x+z
נחשב את הנגזרת החלקית לפי z. כשגוזרים לפי z, z הוא המשתנה ו-x,y נחשבים לפרמטרים. כעת מקבלים גזירה של משתנה אחד, ולכן אפשר להשתמש בנוסחאות גזירה של משתנה אחד. כך מקבלים:
u'_z (x,y,z)=y+x
כעת, נחשב את הנגזרות מסדר שני. נגזרת שנייה היא פשוט נגזרת על הנגזרת, כלומר גוזרים לפי חוקי נגזרת את פונקציית הנגזרת.
קיבלנו שהנגזרת לפי x היא
u'_x (x,y,z)=y+z
נגזור אותה לפי x ונקבל:
u''_{xx} (x,y,z)=0
נגזור אותה לפי y ונקבל:
u''_{xy} (x,y,z)=1
נגזור אותה לפי z ונקבל:
u''_{xz} (x,y,z)=1
קיבלנו שהנגזרת לפי y היא
u'_y (x,y,z)=x+z
נגזור אותה לפי x ונקבל:
u''_{yx} (x,y,z)=1
נגזור אותה לפי y ונקבל:
u''_{yy} (x,y,z)=0
נגזור אותה לפי z ונקבל:
u''_{yz} (x,y,z)=0
קיבלנו שהנגזרת לפי z היא
u'_z (x,y,z)=y+x
נגזור אותה לפי x ונקבל:
u''_{zx} (x,y,z)=1
נגזור אותה לפי y ונקבל:
u''_{zy} (x,y,z)=1
נגזור אותה לפי z ונקבל:
u''_{zz} (x,y,z)=0
שימו לב שקיבלנו:
z''_{yx} (x,y,z)=z''_{xy}(x,y,z)
z''_{yz} (x,y,z)=z''_{zy}(x,y,z)
z''_{xz} (x,y,z)=z''_{zx}(x,y,z)
זה לא במקרה. בפונקציות רציפות וגזירות, סדר הגזירה אינו משנה. כלומר, מקבלים את אותה התוצאה כאשר גוזרים קודם לפי y ואז לפי x או קודם לפי x ואז לפי y.
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
