fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

קיצון מוחלט (גלובלי) – תחום המורכב מפרבולה וישר – תרגיל 3463

תרגיל 

מצאו את הערך המקסימלי ואת הערך המינימלי של הפונקציה:

z(x,y)=2x^3+4x^2+y^2-2xy

בתחום:

D=\{ (x,y): y\geq x^2, y\leq 4\}

תשובה סופית


\max_D z(\pm 2,4) = 32,\min_D z(0,0) =0

פתרון

נתונה הפונקציה:

z(x,y)=2x^3+4x^2+y^2-2xy

ראשית, נשרטט את התחום D. הוא נראה כך:

תחום המורכב מפרבולה וישר

התחום D הוא התחום המסומן בקווים אדומים.

שלב ראשון, נחפש נקודות חשודות לקיצון בתוך התחום D. אלה נקודות קיצון מקומיות. לכן, נחשב את הנגזרות החלקיות ונשווה אותן לאפס:

z'_x(x,y)=6x^2+8x-2y=0

z'_y(x,y)=2y-2x=0

קיבלנו מערכת משוואות:

6x^2+8x-2y=0

2y-2x=0

נפתור אותה. מהמשוואה השנייה מקבלים:

2y-2x=0

y-x=0

y=x

נציב במשוואה הראשונה ונקבל:

6x^2+8x-2x=0

6x^2+6x=0

x^2+x=0

x(x+1)=0

פתרון אחד הוא x=0. נציב בפתרון המשוואה השנייה ונקבל y=0. כלומר, מקבלים את הנקודה (0,0).

פתרון שני הוא x=-1. נציב בפתרון המשוואה השנייה ונקבל y=-1. כלומר, הנקודה (1-,1-).

נבדוק אם הנקודות שקיבלנו בתחום D – נציב אותן באי-שוויונים ונראה אם הן מקיימות אותם או לא. נציב את הנקודה (0,0):

0\geq 0^2, 0\leq 4

שני האי-שוויונים ב-D מתקיימים, ולכן (0,0) בתחום. נציב את הנקודה (1-,1-):

-1\geq {(-1)}^2, -1\leq 4

האי-שוויון הראשון אינו מתקיים. מכאן, הנקודה אינה בתחום D. לכן, היא אינה מעניינת אותנו, “נזרוק” אותה ולא נציב אותה בפונקציה בשלב הסופי.

לסיכום, בשלב הראשון מצאנו נקודה אחת חשודה לקיצון מוחלט.

שלב שני, נחפש נקודות חשודות לקיצון על השפה של התחום D. נמצא את גבולות התחום על ידי שינוי כל אי-שוויון לשוויון ונקבל שאלה הגבולות של D:

y=x^2

y=4

מכיוון שבמשוואות של הגבולות יש משתנה מבודד (y לבד באגף שמאל), נשתמש בשיטת ההצבה. 

נבדוק את הגבול:

y=4

נציב אותו בפונקציה ונקבל:

z(x,4)=2x^3+4x^2+4^2-2x\cdot 4=

=2x^3+4x^2+16-8x

מכיוון שקבענו את y להיות 4, קיבלנו פונקציה במשתנה אחד – x. נגזור לפי x ונשווה לאפס:

z'_x(x,4)=6x^2+8x-8=0

קיבלנו משוואה ריבועית. נפתור אותה בעזרת נוסחת השורשים:

x_{1,2}=\frac{-8\pm \sqrt{8^2-4\cdot 6\cdot (-8)}}{2\cdot 6}=

=\frac{-8\pm \sqrt{256}}{12}=

=\frac{-8\pm 16}{12}

מקבלים את הפתרונות:

x_1=\frac{-8- 16}{12}=\frac{-24}{12}=-2

x_1=\frac{-8+ 16}{12}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}

כלומר, קיבלנו את הנקודות:

(-2,4),(\frac{2}{3},4)

נבדוק אם הנקודות שקיבלנו בתחום D – נציב אותן באי-שוויונים ונראה אם הן מקיימות אותם או לא. נציב את הנקודה (2,4-):

4\geq {(-2)}^2, -2\leq 4

שני האי-שוויונים ב-D מתקיימים, ולכן (2,4-) בתחום. נציב את הנקודה השנייה:

4\geq {(\frac{2}{3})}^2, \frac{2}{3}\leq 4

שני האי-שוויונים ב-D מתקיימים, ולכן גם הנקודה השנייה בתחום.

נבדוק את הגבול:

y=x^2

נציב אותו בפונקציה ונקבל:

z(x,x^2)=2x^3+4x^2+{(x^2)}^2-2x\cdot x^2=

=2x^3+4x^2+x^4-2x^3=

=4x^2+x^4=

מכיוון שקבענו את y לביטוי עם x, קיבלנו פונקציה במשתנה אחד – x. נגזור לפי x ונשווה לאפס:

z'_x(x,x^2)=8x+4x^3=0

נפתור את המשוואה שקיבלנו:

x(8+4x^2)=0

פתרון אחד של המשוואה הוא x=0 והפתרון השני הוא

8+4x^2=0

4x^2=-8

x^2=-2

קיבלנו משוואה ללא פתרון ממשי. לכן, קיבלנו מכל הגבולות נקודה אחת – x=0 תחת האילוץ:

y=x^2

ולכן ערך y של הנקודה הוא גם 0. כלומר, קיבלנו את הנקודה: (0,0). כבר מצאנו את הנקודה הזו וראינו שהיא בתחום.

לסיכום, בשלב השני מצאנו שלוש נקודות חשודות לקיצון מוחלט (אחת מהן כבר מצאנו בשלב קודם).

שלב שלישי, נחפש נקודות חשודות לקיצון בקצוות, כלומר בחיבורים בין גבולות התחום D. הנקודות החשודות הן נקודות החיתוך בין גבולות של התחום. במקרה שלנו, נבדוק מהן נקודות החיתוך של שני הגבולות:

y=4, y=x^2

נציב את המשוואה הראשונה במשוואה השנייה ונקבל:

4=x^2

והפתרונות של המשוואה שקיבלנו הם

x=\pm 2

כלומר, קיבלנו בשלב זה שתי נקודות חשודות לקיצון מוחלט (אחת מהן כבר מצאנו בשלב קודם):

(2,4),(-2,4)

לא צריך לבדוק אם הנקודות בשלב השלישי בתחום – הן בהכרח בתחום, כי לקחנו את קצוות התחום שלנו.

שלב סופי, ניקח את כל הנקודות החשודות שמצאנו ושנמצאות בתחום D ונציב אותן בפונקציה:

z(0,0)=2\cdot 0^3+4\cdot 0^2+0^2-2\cdot 0\cdot 0=0

z(-2,4)=2{(-2)}^3+4\cdot{(-2)}^2+4^2-2\cdot (-2)\cdot 4=32

z(2,4)=2\cdot 2^3+4\cdot 2^2+4^2-2\cdot 2\cdot 4=32

z(\frac{2}{3},4)=2\cdot{(\frac{2}{3})}^3+4\cdot{(\frac{2}{3})}^2+4^2-2\cdot \frac{2}{3}\cdot 4=13\frac{1}{27}

הערך הגבוה ביותר הוא הערך המקסימלי:

\max_D z(\pm 2,4) = 32

והערך הנמוך ביותר הוא הערך המינימלי:

\min_D z(0,0) =0

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה