fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

קיצון מוחלט (גלובלי) – תחום המורכב ממשוואה עם ערך מוחלט – תרגיל 3471

תרגיל 

מצאו את הערך המקסימלי ואת הערך המינימלי של הפונקציה:

z(x,y)=x^2-xy+y^2

בתחום:

D=\{ (x,y): |x|+|y|\leq 1\}

תשובה סופית

\max_D z(0,\pm 1)=\max_D z(\pm 1,0) =1

\min_D z(0,0) =0

פתרון

נתונה הפונקציה:

z(x,y)=x^2-xy+y^2

ראשית, נשרטט את התחום D.

התחום D נראה כך:

תחום מעוין עם ערך מוחלט

התחום D הוא המרובע המסומן בקווים אדומים. הוא חותך את הצירים בנקודות 1 ו- 1- בהתאמה.

שלב ראשון, נחפש נקודות חשודות לקיצון בתוך התחום D. אלה נקודות קיצון מקומיות. לכן, נחשב את הנגזרות החלקיות ונשווה אותן לאפס:

z'_x(x,y)=2x-y=0

z'_y(x,y)=-x+2y=0

קיבלנו מערכת משוואות:

2x-y=0

-x+2y=0

נפתור אותה. מהמשוואה הראשונה מקבלים:

y=2x

נציב במשוואה השנייה ונקבל:

-x+2\cdot 2x=0

-x+4x=0

3x=0

x=0

נציב במשוואה הראשונה ונקבל:

y=2\cdot 0

y=0

קיבלנו נקודה חשודה לקיצון מוחלט – (0,0). נבדוק אם היא בתחום D – נציב אותה באי-שוויון של התחום ונראה אם היא מקיימת אותם או לא. נציב את הנקודה (0,0) ונקבל:

|0|+|0|\leq 1

האי-שוויון ב-D מתקיים, ולכן (0,0) בתחום.

שלב שני, נחפש נקודות חשודות לקיצון על השפה של התחום D. לשם כך, ניפטר מהערך המוחלט ונקבל שהגבולות של D הם אלה:

x>0, y>0, x+y=1

x<0, y>0, -x+y=1

x<0, y<0, -x-y=1

x>0, y<0, x-y=1

מכיוון שהגבולות הם ישרים, נשתמש בשיטת ההצבה בכל הגבולות. 

נבדוק את הגבול:

x>0, y>0, x+y=1

נבודד משתנה:

y=1-x

נציב אותו בפונקציה ונקבל:

z(x,1-x)=x^2-x\cdot (1-x)+{(1-x)}^2=

=x^2-x+x^2+1-2x+x^2=

=3x^2-3x+1

מכיוון שקבענו את y להיות ביטוי של x, קיבלנו פונקציה במשתנה אחד – x. נגזור לפי x ונשווה לאפס:

z'_x(x,1-x)=6x-3=0

נפתור את המשוואה:

6x=3

x=\frac{1}{2}

קיבלנו את הנקודה תחת האילוץ:

y=1-x

לכן, נציב את הנקודה באילוץ כדי למצוא את ערך y שלה:

y=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}

קיבלנו נקודה חשודה לקיצון מוחלט:

(\frac{1}{2},\frac{1}{2})

נבדוק שהיא בתחום D – נציב אותה באי-שוויון של D:

|\frac{1}{2}|+|\frac{1}{2}|\leq 1

האי-שוויון מתקיים, ולכן הנקודה בתחום.

נבדוק את הגבול:

x<0, y>0, -x+y=1

נבודד משתנה:

y=1+x

נציב אותו בפונקציה ונקבל:

z(x,1+x)=x^2-x\cdot (1+x)+{(1+x)}^2=

=x^2-x-x^2+1+2x+x^2=

=x^2+x+1

מכיוון שקבענו את y להיות ביטוי של x, קיבלנו פונקציה במשתנה אחד – x. נגזור לפי x ונשווה לאפס:

z'_x(x,1+x)=2x+1=0

נפתור את המשוואה:

2x=-1

x=\frac{-1}{2}

קיבלנו את הנקודה תחת האילוץ:

y=1+x

לכן, נציב את הנקודה באילוץ כדי למצוא את ערך y שלה:

y=1+\frac{-1}{2}=\frac{1}{2}

קיבלנו נקודה חשודה לקיצון מוחלט:

(\frac{-1}{2},\frac{1}{2})

נבדוק שהיא בתחום D – נציב אותה באי-שוויון של D:

|\frac{-1}{2}|+|\frac{1}{2}|\leq 1

האי-שוויון מתקיים, ולכן הנקודה בתחום.

נבדוק את הגבול:

x<0, y<0, -x-y=1

נבודד משתנה:

y=-1-x

נציב אותו בפונקציה ונקבל:

z(x,-1-x)=x^2-x\cdot (-1-x)+{(-1-x)}^2=

=x^2+x+x^2+1+2x+x^2=

=3x^2+3x+1

מכיוון שקבענו את y להיות ביטוי של x, קיבלנו פונקציה במשתנה אחד – x. נגזור לפי x ונשווה לאפס:

z'_x(x,-1-x)=6x+3=0

נפתור את המשוואה:

6x=-3

x=\frac{-1}{2}

קיבלנו את הנקודה תחת האילוץ:

y=-1-x

לכן, נציב את הנקודה באילוץ כדי למצוא את ערך y שלה:

y=-1-\frac{-1}{2}=\frac{-1}{2}

קיבלנו נקודה חשודה לקיצון מוחלט:

(\frac{-1}{2},\frac{-1}{2})

נבדוק שהיא בתחום D – נציב אותה באי-שוויון של D:

|\frac{-1}{2}|+|\frac{-1}{2}|\leq 1

האי-שוויון מתקיים, ולכן הנקודה בתחום.

נבדוק את הגבול:

x>0, y<0, x-y=1

נבודד משתנה:

y=x-1

נציב אותו בפונקציה ונקבל:

z(x,x-1)=x^2-x\cdot (x-1)+{(x-1)}^2=

=x^2-x^2+x+x^2-2x+1=

=x^2-x+1

מכיוון שקבענו את y להיות ביטוי של x, קיבלנו פונקציה במשתנה אחד – x. נגזור לפי x ונשווה לאפס:

z'_x(x,x-1)=2x-1=0

נפתור את המשוואה:

2x=1

x=\frac{1}{2}

קיבלנו את הנקודה תחת האילוץ:

y=x-1

לכן, נציב את הנקודה באילוץ כדי למצוא את ערך y שלה:

y=\frac{1}{2}-1=\frac{-1}{2}

קיבלנו נקודה חשודה לקיצון מוחלט:

(\frac{1}{2},\frac{-1}{2})

נבדוק שהיא בתחום D – נציב אותה באי-שוויון של D:

|\frac{1}{2}|+|\frac{-1}{2}|\leq 1

האי-שוויון מתקיים, ולכן הנקודה בתחום.

לסיכום, קיבלנו בשלב השני 4 נקודות חשודות לקיצון מוחלט:

(\frac{1}{2},\frac{1}{2}),(\frac{1}{2},\frac{-1}{2}),(\frac{-1}{2},\frac{1}{2}),(\frac{-1}{2},\frac{-1}{2})

שלב שלישי, נחפש נקודות חשודות לקיצון בקצוות, כלומר בחיבורים בין גבולות התחום D. אפשר לראות מהשרטוט שמקבלים את הנקודות האלה:

(0,-1),(-1,0),(0,1),(1,0)

שלב סופי, ניקח את כל הנקודות החשודות שמצאנו ושנמצאות בתחום D ונציב אותן בפונקציה:

z(\frac{1}{2},\frac{1}{2})={(\frac{1}{2})}^2-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+{(\frac{1}{2})}^2=\frac{1}{4}

z(\frac{-1}{2},\frac{1}{2})={(\frac{-1}{2})}^2-\frac{-1}{2}\cdot \frac{1}{2}+{(\frac{1}{2})}^2=\frac{3}{4}

z(\frac{1}{2},\frac{-1}{2})={(\frac{1}{2})}^2-\frac{1}{2}\cdot \frac{-1}{2}+{(\frac{-1}{2})}^2=\frac{3}{4}

z(\frac{-1}{2},\frac{-1}{2})={(\frac{-1}{2})}^2-\frac{-1}{2}\cdot \frac{-1}{2}+{(\frac{-1}{2})}^2=\frac{1}{4}

z(0,0)=0^2-0\cdot 0+0^2=0

z(0,1)=0^2-0\cdot 1+1^2=1

z(1,0)=1^2-1\cdot 0+0^2=1

z(0,-1)=0^2-0\cdot (-1)+{(-1)}^2=1

z(-1,0)={(-1)}^2-(-1)\cdot 0+0^2=1

הערך הגבוה ביותר הוא הערך המקסימלי:

\max_D z(0,\pm 1)=\max_D z(\pm 1,0) =1

והערך הנמוך ביותר הוא הערך המינימלי:

\min_D z(0,0) =0

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה