fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

קיצון מוחלט (גלובלי) – תחום המורכב ממעגל – תרגיל 3479

תרגיל 

מצאו את הערך המקסימלי ואת הערך המינימלי של הפונקציה:

z(x,y)=x^2-y^2-4x

בתחום:

D=\{ (x,y):x^2+y^2\leq 9\}

תשובה סופית

\max_D z(-3,0) = 21

\min_D z(1,\pm 2\sqrt{2}) =-11

פתרון

נתונה הפונקציה:

z(x,y)=x^2-y^2-4x

ראשית, נשרטט את התחום D. הוא נראה כך:

תחום של מעגל במישור XY

התחום D הוא המעגל המסומן בקווים אדומים, בעל רדיוס 3 ומרכז בראשית.

שלב ראשון, נחפש נקודות חשודות לקיצון בתוך התחום D. אלה נקודות קיצון מקומיות. לכן, נחשב את הנגזרות החלקיות ונשווה אותן לאפס:

z'_x(x,y)=2x-4=0

z'_y(x,y)=-2y=0

קיבלנו מערכת משוואות:

2x-4=0

-2y=0

נפתור אותה. מהמשוואה הראשונה מקבלים:

2x=4

x=2

ומהמשוואה השנייה מקבלים:

y=0

קיבלנו נקודה חשודה לקיצון מוחלט – הנקודה (0,2). נבדוק אם היא בתחום D – נציב את הנקודה באי-שוויון של התחום:

2^2+0^2\leq 9

האי-שוויון מתקיים, ולכן הנקודה בתחום.

שלב שני, נחפש נקודות חשודות לקיצון על השפה של התחום D. נמצא את גבולות התחום על ידי שינוי האי-שוויון לשוויון ונקבל שזה הגבול של התחום:

x^2+y^2=9

מכיוון שהגבולות הוא מעגל ובידוד משתנה במשוואה ייצור שתי משוואות עם שורש, לא נשתמש בשיטת ההצבה, אלא בשיטת כופלי לגרנז’. לשם כך, נגדיר את הפונקציה:

L(x,y,\lambda)=x^2-y^2-4x-\lambda(x^2+y^2-9)

נחשב את הנגזרות החלקיות של הפונקציה שהגדרנו ונשווה אותן לאפס:

L'_x(x,y,\lambda)=2x-4-2x\lambda=0

L'_y(x,y,\lambda)=-2y-2y\lambda=0

L'_{\lambda}(x,y,\lambda)=x^2+y^2-9=0

שימו לב שהנגזרת האחרונה היא פשוט האי-שוויון (=האילוץ) של התחום D.

נפתור את מערכת המשוואות שקיבלנו:

2x-4-2x\lambda=0

-2y-2y\lambda=0

x^2+y^2=9

נכפול את המשוואה הראשונה ב-y ואת המשוואה השנייה ב-x ונקבל:

2xy-4y-2xy\lambda=0

-2xy-2xy\lambda=0

נחסר את שתי המשוואות ונקבל:

4xy-4y=0

xy-y=0

y(x-1)=0

פתרון אחד הוא y=0. נציב אותו במשוואה השלישית ונקבל:

x^2+0^2=9

x^2=9

x=\pm 3

פתרון שני הוא x=1. נציב אותו במשוואה השלישית ונקבל:

1^2+y^2=9

y^2=8

y=\pm 2\sqrt{2}

סה”כ קיבלנו 4 נקודות חשודות לקיצון מוחלט:

(\pm 3, 0),(1,\pm 2\sqrt{2})

כל הנקודות הן על המעגל ולכן בתחום.

שלב שלישי, נחפש נקודות חשודות לקיצון בקצוות, כלומר בחיבורים בין גבולות התחום D. אבל התחום שלנו הוא משוואה אחת של מעגל, ולכן אין נקודות חיתוך בין גבולות שונים.

שלב סופי, ניקח את כל הנקודות החשודות שמצאנו ושנמצאות בתחום D ונציב אותן בפונקציה:

z(2,0)=2^2-0^2-4\cdot 2=-4

z(3,0)=3^2-0^2-4\cdot 3=-3

z(-3,0)={(-3)}^2-0^2-4\cdot (-3)=21

z(1,2\sqrt{2})=1^2-{(2\sqrt{2})}^2-4\cdot 1=-11

z(1,-2\sqrt{2})=1^2-{(-2\sqrt{2})}^2-4\cdot 1=-11

הערך הגבוה ביותר הוא הערך המקסימלי:

\max_D z(-3,0) = 21

והערך הנמוך ביותר הוא הערך המינימלי:

\min_D z(1,\pm 2\sqrt{2}) =-11

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה