fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

הצגות שונות לעקומה – מעבר מהצגה פרמטרית להצגה קרטזית – תרגיל 3715

תרגיל 

נתונה הפונקציה הווקטורית בהצגה פרמטרית (עם פרמטר t):

\vec{r}(t)=2\cos t\vec{i}+3\sin t\vec{j}

טווח הפרמטר t הוא

0\leq t<2\pi

הציגו את העקומה בהצגה קרטזית ותארו את הגרף שלה.

תשובה סופית

\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1

פתרון

נתונה הפונקציה:

\vec{r}(t)=2\cos t\vec{i}+3\sin t\vec{j}

כדי לעבור להצגה קרטזית, נגדיר את המקדם של הווקטור i להיות x ואת המקדם של הווקטור j להיות y:

x(t)=2\cos t

y(t)=3\sin t

כלומר, קיבלנו את המשוואות:

x=2\cos t

y=3\sin t

נעביר אגפים:

\frac{x}{2}=\cos t

\frac{y}{3}=\sin t

כעת, נשתמש בזהות הטריגונומטרית:

\sin^2 t+\cos^2 t=1

ונקבל:

{(\frac{x}{2})}^2+{(\frac{y}{3})}^2=\cos^2 t+\sin^2 t=1

כלומר, קיבלנו את המשוואה:

\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1

וזוהי משוואת אליפסה – מרכזה בראשית, הרדיוס המקביל לציר x הוא 2 והרדיוס המקביל לציר y הוא 3.

מכיוון שנתון הטווח:

0\leq t<2\pi

מקבלים את כל האליפסה.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה