fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

הצגות שונות לעקומה – מעבר מהצגה פרמטרית להצגה קרטזית – תרגיל 3732

תרגיל 

נתונה הפונקציה הווקטורית בהצגה פרמטרית (עם פרמטר t):

\vec{r}(t)=(3+2\cos t)\vec{i}+(2+4\sin t)\vec{j}

טווח הפרמטר t הוא

0\leq t<2\pi

הציגו את העקומה בהצגה קרטזית ותארו את הגרף שלה.

תשובה סופית

\frac{{(x-3)}^2}{4}+\frac{{(y-2)}^2}{16}=1

פתרון

נתונה הפונקציה:

\vec{r}(t)=(3+2\cos t)\vec{i}+(2+4\sin t)\vec{j}

כדי לעבור להצגה קרטזית, נגדיר את המקדם של הווקטור i להיות x ואת המקדם של הווקטור j להיות y:

x(t)=3+2\cos t

y(t)=2+4\sin t

כלומר, קיבלנו את המשוואות:

x=3+2\cos t

y=2+4\sin t

נעביר אגפים:

\frac{x-3}{2}=\cos t

\frac{y-2}{4}=\sin t

כעת, נשתמש בזהות הטריגונומטרית:

\sin^2 t+\cos^2 t=1

ונקבל:

{(\frac{x-3}{2})}^2+{(\frac{y-2}{4})}^2=\cos^2 t+\sin^2 t=1

כלומר, קיבלנו את המשוואה:

\frac{{(x-3)}^2}{4}+\frac{{(y-2)}^2}{16}=1

וזוהי משוואת אליפסה – מרכזה בנקודה (3,2), הרדיוס המקביל לציר x הוא 2 והרדיוס המקביל לציר y הוא 4.

מכיוון שנתון הטווח:

0\leq t<2\pi

מקבלים את כל האליפסה.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה