fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

הצגות שונות לעקומה – מעבר מהצגה פרמטרית להצגה קרטזית – תרגיל 3742

תרגיל 

נתונה הפונקציה הווקטורית בהצגה פרמטרית:

\vec{r}(t)=\cos^3 t\vec{i}+\sin^3 t\vec{j}

טווח הפרמטר t הוא

0\leq t<2\pi

הציגו את העקומה בהצגה קרטזית ותארו את הגרף שלה.

תשובה סופית

x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=1

פתרון

נתונה הפונקציה:

\vec{r}(t)=\cos^3 t\vec{i}+\sin^3 t\vec{j}

כדי לעבור להצגה קרטזית, נגדיר את המקדם של הווקטור i להיות x ואת המקדם של הווקטור j להיות y:

x(t)=\cos^3 t

y(t)=\sin^3 t

כלומר, קיבלנו את המשוואות:

x=\cos^3 t

y=\sin^3 t

כעת, נשתמש בזהות הטריגונומטרית:

\sin^2 t+\cos^2 t=1

כדי לקבל חזקה ריבועית, נעלה את הביטוי שלנו בחזקת שני שליש, ואז נוכל להשתמש בזהות.

x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}={\cos^3 t}^{\frac{2}{3}}+{\sin^3 t}^{\frac{2}{3}}=

={\cos^2 t}+{\sin^2 t}=1

כלומר, קיבלנו את המשוואה:

x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=1

וזוהי משוואת אסטרואידה – מרכזה בנקודה (0,0).

מכיוון שנתון הטווח:

0\leq t<2\pi

מקבלים את כל האליפסה.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה