fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

נגזרת וקטורית ומשיק – חישוב משיק לעקומה בהצגה וקטורית – תרגיל 3828

תרגיל 

חשבו את משוואת המשיק לעקומה:

\vec{r}(t)=.(te^{-t}+3)\vec{i}+\sqrt{4+5t}\vec{j}+\arctan(2t)\vec{k}

בנקודה המתאימה ל- t=0.

תשובה סופית

\vec{x}=(1,\frac{5}{4},2)t+(3,2,0)

פתרון

נתונה הפונקציה הווקטורית:

\vec{r}(t)=(te^{-t}+3)\vec{i}+\sqrt{4+5t}\vec{j}+\arctan(2t)\vec{k}

ההצגה הפרמטרית שלה היא

x(t)=te^{-t}+3

y(t)=\sqrt{4+5t}

z(t)=\arctan(2t)

כדי למצוא משוואת משיק, צריך שני נתונים: נקודה ווקטור כיוון. את הנקודה נקבל מהצבת t=0 בפונקציה:

x(0)=0\cdot e^{-0}+3=3

y(0)=\sqrt{4+5\cdot 0}=\sqrt{4}=2

z(0)=\arctan(2\cdot 0)=\arctan 0=0

קיבלנו שהנקודה המתאימה היא (3,2,0).

כדי למצוא את וקטור הכיוון, נגזור את הפונקציה ונציב את הנקודה בנגזרת. לכן, נגזור את x,y,z לפי t ונקבל:

x'(t)=e^{-t}-te^{-t}

y'(t)=\frac{5}{2\sqrt{4+5t}}

z'(t)=\frac{2}{1+4t^2}

נציב בנגזרת של הפונקציה הווקטורית ונקבל:

\vec{r}'(t)=(e^{-t}-te^{-t})\vec{i}+\frac{5}{2\sqrt{4+5t}}\vec{j}+\frac{2}{1+4t^2}\vec{k}

כעת, נציב בנגזרת t=0, כדי למצוא את וקטור הכיוון של המשיק:

\vec{r}'(0)=(e^{-0}-0\cdot e^{-0})\vec{i}+\frac{5}{2\sqrt{4+5\cdot 0}}\vec{j}+\frac{2}{1+4\cdot 0^2}\vec{k}=

=\vec{i}+\frac{5}{4}\vec{j}+2\vec{k}

קיבלנו שהשיפוע הוא בכיוון הווקטור:

\vec{p}=(1,\frac{5}{4},2)

נציב את הנקודה ואת וקטור הכיוון שמצאנו בנוסחת ישר ונקבל:

\vec{x}=(1,\frac{5}{4},2)t+(3,2,0)

או בפירוט:

x=t+3

y=\frac{5}{4}t+2

z=2t

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה