fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

נגזרת וקטורית ומשיק – חישוב וקטור משיק יחידה לעקומה בהצגה וקטורית – תרגיל 3842

תרגיל 

חשבו וקטור משיק יחידה לעקומה:

\vec{r}(t)=\sin t\vec{i}+e^t\vec{j}+t^2\vec{k}

בנקודה המתאימה ל- t=0.

תשובה סופית

\hat{p}=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0)

פתרון

נתונה הפונקציה הווקטורית:

\vec{r}(t)=\sin t\vec{i}+e^t\vec{j}+t^2\vec{k}

ההצגה הפרמטרית שלה היא

x(t)=\sin t

y(t)=e^t

z(t)=t^2

וקטור משיק יחידה הוא וקטור הכיוון של הישר המשיק ב- t=0 באורך יחידה, כלומר מנורמל. כדי למצוא את וקטור הכיוון, נגזור את הפונקציה ונציב את הנקודה בנגזרת. לכן, נגזור את x,y,z לפי t ונקבל:

x'(t)=\cos t

y'(t)=e^t

z'(t)=2t

נציב בנגזרת של הפונקציה הווקטורית ונקבל:

\vec{r}'(t)=\cos t\vec{i}+e^t\vec{j}+2t\vec{k}

כעת, נציב בנגזרת t=0, כדי למצוא את וקטור הכיוון של המשיק:

\vec{r}'(0)=\cos 0\vec{i}+e^0\vec{j}+2\cdot 0\vec{k}

=\vec{i}+\vec{j}+0\vec{k}

קיבלנו שווקטור הכיוון של המשיק הוא

\vec{p}=(1,1,0)

נותר לנרמל את הווקטור, כלומר להפוך אותו לאורך אחד. לשם כך, נחשב את אורך הווקטור:

|\vec{p}|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}

נחלק את הווקטור באורך שלו, וכך נקבל וקטור יחידה:

\hat{p}=\frac{\vec{p}}{|\vec{p}|}=

=\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{i}+\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{j}+\frac{0}{\sqrt{2}}\vec{k}=

=\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{i}+\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{j}+0\vec{k}

קיבלנו שווקטור הכיוון של המשיק באורך אחד הוא

\hat{p}=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0)

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה