fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

נגזרת וקטורית ומשיק – חישוב וקטור משיק יחידה לעקומה בהצגה וקטורית – תרגיל 3846

תרגיל 

חשבו וקטור משיק יחידה לעקומה:

\vec{r}(t)=2\ln(t+1)\vec{i}+t^2\vec{j}+\frac{1}{2}t^2\vec{k}

בנקודה המתאימה ל- t=1.

תשובה סופית

\hat{p}=(\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{2}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}})

פתרון

נתונה הפונקציה הווקטורית:

\vec{r}(t)=2\ln(t+1)\vec{i}+t^2\vec{j}+\frac{1}{2}t^2\vec{k}

ההצגה הפרמטרית שלה היא

x(t)=2\ln(t+1)

y(t)=t^2

z(t)=\frac{1}{2}t^2

וקטור משיק יחידה הוא וקטור הכיוון של הישר המשיק ב- t=1 באורך יחידה, כלומר מנורמל. כדי למצוא את וקטור הכיוון, נגזור את הפונקציה ונציב את הנקודה בנגזרת. לכן, נגזור את x,y,z לפי t ונקבל:

x'(t)=\frac{2}{t+1}

y'(t)=2t

z'(t)=t

נציב בנגזרת של הפונקציה הווקטורית ונקבל:

\vec{r}'(t)=\frac{2}{t+1}\vec{i}+2t\vec{j}+t\vec{k}

כעת, נציב בנגזרת t=1, כדי למצוא את וקטור הכיוון של המשיק:

\vec{r}'(1)=\frac{2}{1+1}\vec{i}+2\cdot 1\vec{j}+1\vec{k}

=\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k}

קיבלנו שווקטור הכיוון של המשיק הוא

\vec{p}=(1,2,1)

נותר לנרמל את הווקטור, כלומר להפוך אותו לאורך אחד. לשם כך, נחשב את אורך הווקטור:

|\vec{p}|=\sqrt{1^2+2^2+1^2}=\sqrt{6}

נחלק את הווקטור באורך שלו, וכך נקבל וקטור יחידה:

\hat{p}=\frac{\vec{p}}{|\vec{p}|}=

=\frac{1}{\sqrt{6}}\vec{i}+\frac{2}{\sqrt{6}}\vec{j}+\frac{1}{\sqrt{6}}\vec{k}

קיבלנו שווקטור הכיוון של המשיק באורך אחד הוא

\hat{p}=(\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{2}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}})

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה