fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

נגזרת וקטורית ומשיק – חישוב נגזרת וגודל נגזרת של פונקציה וקטורית – תרגיל 3820

תרגיל 

נתונה הפונקציה הווקטורית בהצגה פרמטרית:

\vec{r}(t)=\cos (2t)\vec{i}+\sin (2t)\vec{j}+t^2\vec{k}

חשבו את

\frac{d\vec{r}}{dt},|\frac{d\vec{r}}{dt}|,\frac{d\vec{|r|}}{dt}

תשובה סופית

\frac{d\vec{r}}{dt}=-2\sin (2t)\vec{i}+2\cos (2t)\vec{j}+2t\vec{k}

|\frac{d\vec{r}}{dt}|=2\sqrt{1+t^2}

\frac{d\vec{|r|}}{dt}=\frac{2t^3}{\sqrt{1+t^4}}

פתרון

נתונה הפונקציה הווקטורית:

\vec{r}(t)=\cos (2t)\vec{i}+\sin (2t)\vec{j}+t^2\vec{k}

ההצגה הפרמטרית שלה היא

x(t)=\cos (2t)

y(t)=\sin (2t)

z(t)=t^2

נגזור את x,y,z לפי t ונקבל:

x'(t)=-2\sin (2t)

y'(t)=2\cos (2t)

z'(t)=2t

נציב בנגזרת של הפונקציה הווקטורית ונקבל:

\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{r}'(t)=-2\sin (2t)\vec{i}+2\cos (2t)\vec{j}+2t\vec{k}

מכיוון שהנגזרת היא גם וקטור, נחשב את ערך הנגזרת בערך מוחלט לפי נוסחת ערך מוחלט לווקטור:

|\frac{d\vec{r}}{dt}|=\sqrt{{(-2\sin (2t))}^2+{(2\cos (2t))}^2+{(2t)}^2}=

=\sqrt{4\sin^2 (2t)+4\cos^2 (2t)+4t^2}=

=\sqrt{4+4t^2}=

=2\sqrt{1+t^2}=

נחשב את ערך הפונקציה בערך מוחלט. מכיוון שהפונקציה היא בעצם וקטור, נשתמש שוב בנוסחת ערך מוחלט לווקטור:

|\vec{r}(t)|=\sqrt{{(\cos (2t))}^2+{(\sin (2t))}^2+{(t^2)}^2}=

=\sqrt{\cos^2 (2t)+\sin^2 (2t)+t^4}=

=\sqrt{1+t^4}

כעת נחשב את הנגזרת של הפונקציה הוקטורית בערך מוחלט ונקבל:

\frac{d\vec{|r|}}{dt}=\frac{1}{2\sqrt{1+t^4}}\cdot 4t^3=

=\frac{2t^3}{\sqrt{1+t^4}}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה