תרגיל
נתונה הפונקציה הווקטורית בהצגה פרמטרית:
\vec{r}(t)=\cos (2t)\vec{i}+\sin (2t)\vec{j}+t^2\vec{k}
חשבו את
\frac{d\vec{r}}{dt},|\frac{d\vec{r}}{dt}|,\frac{d\vec{|r|}}{dt}
תשובה סופית
פתרון מפורט
נתונה הפונקציה הווקטורית:
\vec{r}(t)=\cos (2t)\vec{i}+\sin (2t)\vec{j}+t^2\vec{k}
ההצגה הפרמטרית שלה היא
x(t)=\cos (2t)
y(t)=\sin (2t)
z(t)=t^2
נגזור את x,y,z לפי t ונקבל:
x'(t)=-2\sin (2t)
y'(t)=2\cos (2t)
z'(t)=2t
נציב בנגזרת של הפונקציה הווקטורית ונקבל:
\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{r}'(t)=-2\sin (2t)\vec{i}+2\cos (2t)\vec{j}+2t\vec{k}
מכיוון שהנגזרת היא גם וקטור, נחשב את ערך הנגזרת בערך מוחלט לפי נוסחת ערך מוחלט לווקטור:
|\frac{d\vec{r}}{dt}|=\sqrt{{(-2\sin (2t))}^2+{(2\cos (2t))}^2+{(2t)}^2}=
=\sqrt{4\sin^2 (2t)+4\cos^2 (2t)+4t^2}=
=\sqrt{4+4t^2}=
=2\sqrt{1+t^2}=
נחשב את ערך הפונקציה בערך מוחלט. מכיוון שהפונקציה היא בעצם וקטור, נשתמש שוב בנוסחת ערך מוחלט לווקטור:
|\vec{r}(t)|=\sqrt{{(\cos (2t))}^2+{(\sin (2t))}^2+{(t^2)}^2}=
=\sqrt{\cos^2 (2t)+\sin^2 (2t)+t^4}=
=\sqrt{1+t^4}
כעת נחשב את הנגזרת של הפונקציה הוקטורית בערך מוחלט ונקבל:
\frac{d\vec{|r|}}{dt}=\frac{1}{2\sqrt{1+t^4}}\cdot 4t^3=
=\frac{2t^3}{\sqrt{1+t^4}}
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
