וקטורים – הגדרות, סימונים, נוסחאות ומשפטים

תוכן עניינים:

• הגדרת וקטור
• סכום וקטורים
• וקטור נגדי
• הפרש וקטורים
• היטל
• צירוף לינארי
• נרמול
• קואורדינטות קרטזיות
• מכפלה סקלרית
• מכפלה וקטורית
• מכפלה מעורבת

הגדרת וקטור

ערך מספרי עם כיוון נקרא וקטור. דוגמאות לווקטורים: מהירות, תאוצה, כוח ועוד.

סימון וקטור a:

\vec{a}

סימון וקטור המתחיל בנקודה A ומסתיים בנקודה B:

\overrightarrow{AB}

הערך המספרי של הווקטור בערך מוחלט נקרא אורך הווקטור או גודל הווקטור, למשל

|\vec{a}|, |\overrightarrow{AB}|

ומתקיים:

|\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}^2}

שני וקטורים שווים אם אורכם שווה וכיוונם זהה.

שני וקטורים נקראים מקבילים אם הם על ישרים מקבילים (או על אותו ישר).

סימון: וקטור a מקביל לווקטור b:

\vec{a}||\vec{a}

סכום וקטורים

סכום הווקטורים a ו-b הוא וקטור c:

\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}

אם וקטור c הוא האלכסון של המקבילית הבנויה מהווקטורים a ו-b המתחילים מקודקוד משותף A.

הערה: כדי לחשב את ווקטור הסכום, מחברים את הקואורדינטות המתאימות.

וקטור נגדי

וקטור b נקרא נגדי ל-a אם מתקיים:

1. שני הווקטורים בעלי אותו אורך או גודל:

|\vec{a}|=|\vec{b}|

2. שני הווקטורים נמצאים על ישרים מקבילים (או על אותו ישר).

3. הכיוונים של שני הווקטורים הפוכים.

הפרש וקטורים

הפרש הווקטורים a ו-b הוא סכום הווקטור a עם הווקטור הנגדי b-:

\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})

הערה: כדי לחשב את ווקטור ההפרש, מחסרים את הקואורדינטות המתאימות.

היטל

היטל של וקטור a (מנקודה A לנקודה B) על ציר כלשהו (למשל, ציר x) הוא סקלר (=מספר) השווה לאורך הקטע המכוון ‘A’B כאשר ‘A הוא היטל ההתחלה ו-‘B הוא היטל הסוף. ההיטל יהיה בסימן פלוס כאשר ‘A’B הוא בכיוון הציר ובסימן מינוס כאשר הוא בכיוון הנגדי.

סימון היטל הווקטור a על ציר x:

Pr_{x}\vec{a}

ומתקיים:

Pr_{x}\vec{a}=|\vec{a}|\cdot \cos \alpha

כאשר אלפא היא הזווית בין וקטור a והציר החיובי.

הערה: היטל של נקודה על ישר (או על מישור) היא נקודת החיתוך של האנך שיוצא מהנקודה לישר (או למישור) עם הישר (או המישור). כלומר, היטל של נקודה הוא נקודה.

הגדרה – יהיו וקטור a וסקלר אלפא:

1. אם

\alpha =0

אז

\alpha\vec{a}=\vec{0}

2. אם

\alpha >0

אז

\alpha\vec{a}

הוא וקטור בכיוון של a ואורכו

\alpha|\vec{a}|

3. אם

\alpha <0

אז

\alpha\vec{a}

הוא וקטור בכיוון הנגדי ל-a ואורכו

|\alpha|\cdot|\vec{a}|

הערה: שני הווקטורים

\vec{a},\alpha\vec{a}

נמצאים על ישרים מקבילים (או על אותו ישר).

משפט – יהיו וקטור a ווקטור b שני וקטורים ויהיו אלפא וביתא שני סקלרים (מספרים). אזי,

1. סדר הסכימה אינו משנה:

\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}

2. מיקום הסוגריים אינו משנה:

(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})

3. סדר ההכפלה בסקלר אינה משנה:

\alpha (\beta\vec{a})=(\alpha\beta)\vec{a}

4. פתיחת סוגריים:

\alpha (\vec{a}+\vec{b})=\alpha\vec{a}+\alpha\vec{b}

(\alpha +\beta)\vec{a}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{a}

צירוף לינארי של וקטורים

הגדרה – הווקטור

\vec{u}=\alpha_1\vec{a_1}+...+\alpha_n\vec{a_n}

נקרא צירוף לינארי של n הווקטורים

a_1,...,a_n

הגדרה – הווקטורים

a_1,...,a_n

נקראים תלויים לינארית אם קיימים מספרים ממשיים

{\alpha}_1,...,{\alpha}_n

לא כולם אפס כך שמתקיים:

\alpha_1\vec{a_1}+...+\alpha_n\vec{a_n}=0

משפט – שני וקטורים תלויים לינארית אם ורק אם הם נמצאים על ישרים מקבילים (או על אותו ישר).

הגדרה – שני וקטורים נקראים קולינאריים אם הם נמצאים על ישרים מקבילים (או על אותו ישר).

משפט – שני וקטורים

\vec{a},\vec{b}

קולינאריים אם ורק אם קיים אלפא שונה מאפס כך שמתקיים:

\vec{a}=\alpha\vec{b}

משפט – יהיו

\vec{u},\vec{v}

שני וקטורים לא קולינאריים, אז כל וקטור a הנמצא במישור הנוצר על ידי u ו-v ניתן להצגה באופן יחיד בצורה:

\vec{a}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}

מסקנה – שלושה וקטורים מונחים על מישור אחד אם ורק אם הם תלויים לינארית.

הגדרה – שלושה וקטורים נקראים קופלנריים אם קיימים שלושה וקטורים השווים להם והמונחים על מישור אחד.

משפט – שלושה וקטורים אינם קופלנריים אם ורק אם הם לא תלויים לינארית.

משפט – יהיו

\vec{u},\vec{v},\vec{w}

שלושה וקטורים לא קופלנריים, אז כל וקטור a שונה מאפס ניתן להצגה באופן יחיד כצירוף לינארי שלהם:

\vec{a}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w}

כאשר הסקלרים

\alpha,\beta,\gamma

לא כולם אפס.

מסקנה – שלושה וקטורים תלויים לינארית = הם קופלנריים = הם על מישור אחד= מתקיים:

\vec{a}=\alpha\vec{b}+\beta\vec{c}

נרמול וקטור

וקטור a נקרא מנורמל אם הוא באותו כיוון כמו הוקטור a, אך באורך יחידה.

סימון וקטור מנורמל:

\hat{a}

איך מנרמלים וקטור, כלומר הופכים אותו לאורך יחידה? מחלקים את הקואורדינטות הקרטזיות באורך שלו, כלומר

\hat{a}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=\frac{a_1}{|\vec{a}|}\vec{i}+\frac{a_2}{|\vec{a}|}\vec{j}+\frac{a_3}{|\vec{a}|}\vec{k}

קואורדינטות קרטזיות של וקטור

מערכת הצירים XYZ נקראת מערכת קרטזית. אפשר להציג כל וקטור a כצירוף לינארי של וקטורי היחידה של הצירים:

\vec{a}=a_1\vec{i}+a_2\vec{j}+a_3\vec{k}

כאשר הוקטור i הוא וקטור יחידה על ציר x, הווקטור j הוא וקטור יחידה על ציר y והווקטור k הוא וקטור יחידה על ציר z. כלומר,

\vec{i}=(1,0,0)

\vec{j}=(0,1,0)

\vec{k}=(0,0,1)

הצגה מקוצרת של אותו הווקטור:

\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)

לשלישייה

(a_1,a_2,a_3)

קוראים הקואורדינטות הקרטזיות של הוקטור a, והם בעצם ההיטלים של הווקטור a על הצירים x,y,z בהתאמה.

לכל וקטור מתאימה שלישייה יחידה ולכל שלישייה מתאים וקטור יחיד.

מסקנה – שני וקטורים a,b שווים אם ורק אם הקואורדינטות שלהם שוות בהתאמה.

לכל נקודה במרחב אפשר להעביר וקטור מראשית הצירים על הנקודה, והקואורדינטות של הנקודה יהיו גם הקואורדינטות של הווקטור. מכאן, בכל נקודה במרחב מוגדר גם וקטור שתחילתו בראשית וסופו בנקודה הנתונה.

משפט – אורך של וקטור

\vec{a}=a_1\vec{i}+a_2\vec{j}+a_3\vec{k}

שווה ל-

|\vec{a}|=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}

משפט – יהיו

\vec{a}=a_1\vec{i}+a_2\vec{j}+a_3\vec{k}

\vec{b}=b_1\vec{i}+b_2\vec{j}+b_3\vec{k}

שני וקטורים, אזי

1. כפל בסקלר:

\alpha\vec{a}=\alpha a_1\vec{i}+\alpha a_2\vec{j}+\alpha a_3\vec{k}

2. סכום וקטורים:

\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1)\vec{i}+(a_2+b_2)\vec{j}+(a_3+b_3)\vec{k}

3. הווקטורים a,b קולינאריים אם ורק אם מתקיים:

\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3}

מכפלה סקלרית

מכפלה סקלרית של וקטורים a ו-b מוגדרת כך:

\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha

כאשר אלפא היא הזווית בין הוקטורים a ו-b.

שימו לב שהתוצאה של המכפלה הסקלרית היא סקלר (=מספר), ולא וקטור.

מסקנה – הוקטורים a ו-b מאונכים אם ורק אם המכפלה הסקלרית שלהם שווה לאפס.

מסקנה נוספת – נעביר אגפים ונקבל נוסחה לחישוב זווית בין שני וקטורים:

\cos\alpha=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}

משפט – יהיו

\vec{a}=a_1\vec{i}+a_2\vec{j}+a_3\vec{k}

\vec{b}=b_1\vec{i}+b_2\vec{j}+b_3\vec{k}

אזי מתקיים:

\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2 +a_3 b_3

הגדרה – מכפלה סקלרית של הוקטורים a ו-b היא כפל של אורך של אחד הווקטורים בהיטל הווקטור השני עליו, כלומר

\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot Pr_{\vec{a}} \vec{b}=|\vec{b}|\cdot Pr_{\vec{b}} \vec{a}

משפט – יהיו

\vec{a},\vec{b},\vec{c}

וקטורים ואלפא סקלר. אזי מתקיים:

1. וקטור בריבוע:

\vec{a}^2=\vec{a}\cdot \vec{a}=|\vec{a}|^2

2. סדר האיברים בכפל לא משנה:

\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}

3. פתיחת סוגריים:

\alpha(\vec{a}\cdot \vec{b})=\alpha\vec{a}\cdot \vec{b}

\vec{a}(\vec{b} + \vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}

מכפלה וקטורית

מכפלה וקטורית של וקטורים a ו-b מוגדרת כך:

\vec{a}\times \vec{b}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}=

=(a_2 b_3-a_3 b_2)\vec{i}-(a_1 b_3-a_3 b_1)\vec{j}+(a_1 b_2-a_2 b_1)\vec{k}

תוצאת המכפלה היא וקטור הנקרא המכפלה הוקטורית של הווקטורים:

\vec{a}=a_1\vec{i}+a_2\vec{j}+a_3\vec{k}

\vec{b}=b_1\vec{i}+b_2\vec{j}+b_3\vec{k}

המכפלה

\vec{a}\times \vec{b}

היא וקטור c המקיים:

1.

|\vec{c}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin\alpha

כאשר אלפא היא הזווית בין הווקטורים a ו-b. כלומר, האורך של המכפלה הווקטורית:

|\vec{a}\times \vec{b}|

שווה לשטח המקבילית הבנויה מהוקטורים a ו-b.

2. הווקטור c מאונך למישור הווקטורים a ו-b בכיוון כזה שמסופו של וקטור c רואים את התנועה מ-a ל-b נגד כיוון השעון.

משפט – יהיו וקטורים a,b,c וסקלר אלפא. אזי מתקיים:

1. סדר האיברים משנה את התוצאה –

\vec{a}\times \vec{b}=-\vec{b}\times \vec{a}

2. פתיחת סוגריים:

\vec{a}\times (\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times \vec{c}

(\vec{a}+\vec{b})\times\vec{c})=\vec{a}\times\vec{c}+\vec{b}\times \vec{c}

\alpha(\vec{a}\times \vec{b})=(\alpha\vec{a})\times \vec{b}=\vec{a}\times(\alpha\vec{b})

הערה – המכפלה הווקטורית אינה אסוציאטיבית, כלומר

(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c} \neq \vec{a}\times (\vec{b}\times\vec{c})

שימו לב שמתקיים:

1. וקטורים a,b קולינאריים אם ורק אם המכפלה הוקטורית שלהם שווה לאפס (וקטור האפס), כלומר

 \vec{a}\times \vec{b}=0

2. מכפלה וקטורית של וקטור בעצמו שווה לאפס, כלומר

\vec{a}\times \vec{a}=0

מכפלה מעורבת

מכפלה מעורבת של וקטורים a,b,c מוגדרת כך:

\vec{a}\cdot (\vec{b}\times\vec{c})

תוצאת המכפלה המעורבת היא סקלר (מספר), ולא וקטור.

משפט – יהיו וקטורים

\vec{a}=a_1\vec{i}+a_2\vec{j}+a_3\vec{k}

\vec{b}=b_1\vec{i}+b_2\vec{j}+b_3\vec{k}

\vec{c}=c_1\vec{i}+c_2\vec{j}+c_3\vec{k}

אז מתקיימים:

1. הנוסחה:

\vec{a}\cdot (\vec{b}\times\vec{c})=\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}

2. מתקיים השוויון:

\vec{a}\cdot (\vec{b}\times\vec{c})=(\vec{a}\times\vec{b})\cdot \vec{c}

3. תוצאת המכפלה המעורבת היא סקלר שערכו המוחלט שווה לנפח המקבילון (מקבילית תלת-מימדית) הבנוי של הווקטורים a,b,c (היוצאים מקודקוד משותף).

הערה – הוקטורים a,b,c קופלנריים אם ורק אם המכפלה המעורבת שלהם שווה לאפס, כלומר

\vec{a}\cdot (\vec{b}\times\vec{c})=0

וכן, נפח פרמידה בעלת בסיס משולש הבנויה מהוקטורים a,b,c (יוצאים מקודקוד משותף) שווה ל-

\frac{1}{6}|\vec{a}\cdot (\vec{b}\times\vec{c})|

לחצו כאן לתרגילים ופתרונות בנושא וקטורים

 

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂