fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

גיאומטריה אנליטית במרחב XYZ – נוסחאות

תוכן עניינים:

נוסחאות למישור

משוואה כללית של מישור:

Ax+By+Cz+D=0

כאשר הווקטור

\vec{N}=(A,B,C)

הוא וקטור מאונך למישור, ונקרא נורמל.

משוואת מישור העובר דרך הנקודה

M_0(x_0,y_0,z_0)

ומאונך לווקטור

\vec{N}=(A,B,C)

היא

A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0

ואפשר למצוא את הזווית (החדה) בין המישורים בעזרת הנוסחה:

\cos\alpha=\frac{|\vec{N_1}\cdot \vec{N_2}|}{|\vec{N_1}|\cdot |\vec{N_2}|}

כאשר הווקטורים

\vec{N_1},\vec{N_2}

הם הנורמלים (וקטורים אנכיים) של המישורים.

הערה: סימן הכפל במונה הוא סימן כפל של מכפלה סקלרית בין וקטורים, ואילו סימן הכפל במכנה הוא סימן כפל רגיל בין מספרים. כמו כן, סימני הערך המוחלט במכנה מייצגים גדלים של הווקטורים, ואילו סימן הערך מוחלט במונה הוא ערך מוחלט רגיל.

הנורמלים:

\vec{N_1}=A_1\vec{i}+B_1\vec{j}+C_1\vec{k}

\vec{N_2}=A_2\vec{i}+B_2\vec{j}+C_2\vec{k}

מקבילים, כלומר

\vec{N_1}||\vec{N_2}

אם ורק אם מתקיים:

\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}

ואם הם מקבילים, אז גם המישורים מקבילים.

הנורמלים מאונכים אם ורק אם מתקיים:

A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2=0

ואם הנורמלים מאונכים, אז גם המישורים מאונכים.

מרחק מנקודה:

M_0(x_0,y_0,z_0)

למישור:

Ax+By+Cz+D=0

הוא

d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

נוסחאות לישר במרחב

משוואת ישר כחיתוך של שני מישורים:

A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0

A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0

משוואה קנונית של ישר:

\frac{x-x_0}{k}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}

כאשר הנקודה

M_0(x_0,y_0,z_0)

היא נקודה על הישר. והווקטור

\vec{p}=(k,m,n)

הוא וקטור כיוון של הישר.

הצגה פרמטרית של הישר:

x=x_0+kt

y=y_0+mt

z=z_0+nt

משוואת ישר העובר דרך שתי הנקודות:

M_1(x_1,y_1,z_1),M_2(x_2,y_2,z_2)

היא

\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}

ואפשר למצוא את הזווית בין הישרים בעזרת הנוסחה:

\cos\alpha=\frac{\vec{p_1}\cdot \vec{p_2}}{|\vec{p_1}|\cdot |\vec{p_2}|}

כאשר הווקטורים

\vec{p_1},\vec{p_2}

הם וקטורי הכיוון של הישרים.

מרחק מנקודה M לישר L, העובר דרך נקודה Q ובעל וקטור כיוון p הוא

d=\frac{|\overrightarrow{QM}\times\vec{p}|}{|\vec{p}|}

נוסחאות לישר ומישור

נתונים הישר

\frac{x-x_0}{k}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}

עם וקטור הכיוון:

\vec{p}=(k,m,n)

והמישור

Ax+By+Cz+D=0

עם הנורמל:

\vec{N}=(A,B,C)

אזי מתקיים:

הישר והמישור מקבילים כאשר וקטור הכיוון של הישר והנורמל של המישור מאונכים, כלומר מתקיים:

Ak+Bm+Cn=0

הישר והמישור מאונכים כאשר וקטור הכיוון של הישר והנורמל של המישור מקבילים, כלומר מתקיים:

\frac{A}{k}=\frac{B}{m}=\frac{C}{n}

ואפשר למצוא את הזווית בין הישר למישור בעזרת הנוסחה:

\sin\alpha=\frac{\vec{N}\cdot\vec{p}}{|\vec{N}|\cdot|\vec{p}|}

לחצו כאן לתרגילים ופתרונות בנושא זה

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה