fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

נגזרת וקטורית ומשיק – חישוב משיק לעקומה בהצגה וקטורית – תרגיל 3836

תרגיל 

חשבו את משוואת המשיק לעקומה הנתונה כחיתוך של המשטחים:

z=x^2

x=y^2

בנקודה

M(1,1,1)

תשובה סופית

\vec{x}=(2,1,4)t+(1,1,1)

פתרון

נתונה עקומה כחיתוך של המשטחים:

z=x^2

x=y^2

נעבור להצגה פרמטרית. נגדיר:

y(t)=t

ונקבל:

x(t)=t^2

z(t)=t^4

כדי למצוא משוואת משיק, צריך שני נתונים: נקודה ווקטור כיוון. את הנקודה המתאימה ל-t נקבל מהצבת M בפונקציה:

1=x=t^2

1=y=t

1=z=t^4

שלוש המשוואות מתקיימות רק כאשר t=1, ולכן זה הערך המתאים ל-M.

כדי למצוא את וקטור הכיוון, נגזור את הפונקציה ונציב t=1 בנגזרת. לכן, נגזור את x,y,z לפי t ונקבל:

x'(t)=2t

y'(t)=1

z'(t)=4t^3

נציב בנגזרת של הפונקציה הווקטורית ונקבל:

\vec{r}'(t)=2t\vec{i}+\vec{j}+4t^3\vec{k}

כעת, נציב בנגזרת t=1, כדי למצוא את וקטור הכיוון של המשיק:

\vec{r}'(1)=2\cdot 1\vec{i}+\vec{j}+4\cdot1^3\vec{k}

=2\vec{i}+\vec{j}+4\vec{k}

קיבלנו שהשיפוע הוא בכיוון הווקטור:

\vec{p}=(2,1,4)

נציב את הנקודה ואת וקטור הכיוון שמצאנו בנוסחת ישר ונקבל:

\vec{x}=(2,1,4)t+(1,1,1)

או בפירוט:

x=2t+1

y=t+1

z=4t+1

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה