fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

נגזרת וקטורית ומשיק – חישוב משיק לעקומה בהצגה וקטורית – תרגיל 3833

תרגיל 

חשבו את משוואת המשיק לעקומה:

\vec{r}(t)=2\cos t\vec{i}+3\sin t\vec{j}+t\vec{k}

בנקודה

M(2,0,0)

תשובה סופית

\vec{x}=(0,3,1)t+(2,0,0)

פתרון

נתונה הפונקציה הווקטורית:

\vec{r}(t)=2\cos t\vec{i}+3\sin t\vec{j}+t\vec{k}

ההצגה הפרמטרית שלה היא

x(t)=2\cos t

y(t)=3\sin t

z(t)=t

כדי למצוא משוואת משיק, צריך שני נתונים: נקודה ווקטור כיוון. את הנקודה המתאימה ל-t נקבל מהצבת M בפונקציה:

2=2\cos t

0=3\sin t

0=t

שלוש המשוואות מתקיימות רק כאשר t=0, ולכן זה הערך המתאים ל-M.

כדי למצוא את וקטור הכיוון, נגזור את הפונקציה ונציב t=0 בנגזרת. לכן, נגזור את x,y,z לפי t ונקבל:

x'(t)=-2\sin t

y'(t)=3\cos t

z'(t)=1

נציב בנגזרת של הפונקציה הווקטורית ונקבל:

\vec{r}'(t)=-2\sin t\vec{i}+3\cos t\vec{j}+\vec{k}

כעת, נציב בנגזרת t=0, כדי למצוא את וקטור הכיוון של המשיק:

\vec{r}'(t)=-2\sin 0\vec{i}+3\cos 0\vec{j}+\vec{k}

=0\cdot\vec{i}+3\vec{j}+\vec{k}

קיבלנו שהשיפוע הוא בכיוון הווקטור:

\vec{p}=(0,3,1)

נציב את הנקודה ואת וקטור הכיוון שמצאנו בנוסחת ישר ונקבל:

\vec{x}=(0,3,1)t+(2,0,0)

או בפירוט:

x=0\cdot t+2=2

y=3t+0=3t

z=t+0=t

כלומר:

x=2

y=3t

z=t

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה