fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

שימושים בפיזיקה – חישוב מהירות ותאוצה – תרגיל 3844

תרגיל 

חלקיק נע לפי חוק התנועה:

\vec{r}(t)=\cos(\alpha)\cos(\omega t)\vec{i}+\sin(\alpha)\cos(\omega t)\vec{j}+\sin(\omega t)\vec{k}

כאשר

\omega>0

חשבו את המהירות, את התאוצה ואת הערכים שלהם (גודלי הווקטורים).

תשובה סופית

\vec{v}(t)=\omega\cos(\alpha)\sin(\omega t)\vec{i}-\omega\sin(\alpha)\sin(\omega t)\vec{j}+\omega\cos(\omega t)\vec{k}

|\vec{v}(t)|=\omega

\vec{a}(t)=-\omega^2\cos(\alpha)\cos(\omega t)\vec{i}-\omega^2\sin(\alpha)\cos(\omega t)\vec{j}-\omega^2\sin(\omega t)\vec{k}

|\vec{a}(t)|=\omega^2

פתרון

נתונה פונקציית תנועה:

\vec{r}(t)=\cos(\alpha)\cos(\omega t)\vec{i}+\sin(\alpha)\cos(\omega t)\vec{j}+\sin(\omega t)\vec{k}

פונקציית המהירות היא הנגזרת של פונקציית התנועה, כלומר

\vec{v}(t)=\vec{r}'(t)=

לכן, נגזור את פונקציית התנועה לפי t (השאר פרמטרים) – כל רכיב גוזרים בנפרד:

=-\omega\cos(\alpha)\sin(\omega t)\vec{i}-\omega\sin(\alpha)\sin(\omega t)\vec{j}+\omega\cos(\omega t)\vec{k}

מצאנו את פונקציית המהירות. זוהי פונקציה וקטורית, כלומר וקטור. נחשב את גודל הווקטור:

|\vec{v}(t)|=\sqrt{{(-\omega\cos(\alpha)\sin(\omega t))}^2+{(-\omega\sin(\alpha)\sin(\omega t))}^2+{(\omega\cos(\omega t))}^2}=

=\sqrt{\omega^2\cos^2(\alpha)\sin^2(\omega t)+\omega^2\sin^2(\alpha)\sin^2(\omega t)+\omega^2\cos^2(\omega t)}=

=\sqrt{\omega^2\sin^2(\omega t)(\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha))+\omega^2\cos^2(\omega t)}=

נשתמש בזהות הטריגונומטרית:

\cos^2 x+\sin^2 x=1

ונקבל:

=\sqrt{\omega^2\sin^2(\omega t)+\omega^2\cos^2(\omega t)}=

=\sqrt{\omega^2(\sin^2(\omega t)+\cos^2(\omega t))}=

נשתמש בזהות שוב ונקבל:

=\sqrt{\omega^2}=\omega

קיבלנו שגודל הווקטור (של פונקציית המהירות) הוא

|\vec{v}(t)|=\omega

כעת, נחשב את פונקציית התאוצה. פונקציה זו היא הנגזרת של פונקציית המהירות או הנגזרת השנייה של פונקציית התנועה, כלומר

\vec{a}(t)=\vec{r}''(t)=\vec{v}'(t)

לכן, נגזור את פונקציית המהירות לפי t (השאר פרמטרים) – כל רכיב גוזרים בנפרד:

=-\omega^2\cos(\alpha)\cos(\omega t)\vec{i}-\omega^2\sin(\alpha)\cos(\omega t)\vec{j}-\omega^2\sin(\omega t)\vec{k}

מצאנו את פונקציית התאוצה. זוהי פונקציה וקטורית, כלומר וקטור. נחשב את גודל הווקטור:

|\vec{a}(t)|=\sqrt{{(-\omega^2\cos(\alpha)\cos(\omega t)}^2+{(-\omega^2\sin(\alpha)\cos(\omega t))}^2+{(-\omega^2\sin(\omega t))}^2}=

=\sqrt{\omega^4\cos^2(\alpha)\cos^2(\omega t)+\omega^4\sin^2(\alpha)\cos^2(\omega t)+\omega^4\sin^2(\omega t)}=

=\sqrt{\omega^4\cos^2(\omega t)(\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha))+\omega^4\sin^2(\omega t)}=

שוב נשתמש בזהות הטריגונומטרית ונקבל:

=\sqrt{\omega^4\cos^2(\omega t)+\omega^4\sin^2(\omega t)}=

=\sqrt{\omega^4(\cos^2(\omega t)+\sin^2(\omega t))}=

נשתמש באותה זהות עוד פעם ונקבל:

=\sqrt{\omega^4}=\omega^2

קיבלנו שגודל הווקטור (של פונקציית המהירות) הוא

|\vec{a}(t)|=\omega^2

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה