fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

שימושים בפיזיקה – חישוב תנועה – תרגיל 3874

תרגיל 

תאוצה של חלקיק תלויה בזמן לפי נוסחת התאוצה:

\vec{a}(t)=18\cos(3t)\vec{i}-18\sin(3t)\vec{j}

רדיוס וקטור התחלתי של החלקיק הוא

\vec{r}(0)=(2,0,1)

ומהירות התחלתית של החלקיק היא

\vec{v}(0)=(0,2,4)

חשבו את משוואת התנועה של החלקיק.

תשובה סופית

\vec{r}(t)=(-2\cos(3t)+4)\vec{i}+(2\sin(3t)-4t)\vec{j}+(4t+1)\vec{k}

פתרון

נתונה פונקציית תאוצה:

\vec{a}(t)=18\cos(3t)\vec{i}-18\sin(3t)\vec{j}

שימו לב שבנתונים (וקטור ומהירות התחלתיים) יש 3 רכיבים לנקודה, לכן פונקציית התאוצה היא בעצם:

\vec{a}(t)=18\cos(3t)\vec{i}-18\sin(3t)\vec{j}+0\vec{k}

פונקציית התאוצה היא הנגזרת של פונקציית המהירות, כלומר מתקיים:

\vec{a}(t)=\vec{v}'(t)

לכן, כדי למצוא את פונקציית המהירות, נעשה אינטגרל על פונקציית התאוצה לפי t – עושים אינטגרל על כל רכיב בנפרד:

\vec{v}(t)=\int\vec{a}(t)dt=

=\int18\cos(3t)dt\vec{i}-\int18\sin(3t)dt\vec{j}+\int 0dt\vec{k}=

=(\frac{18\sin(3t)}{3}+c_1)\vec{i}+(\frac{18\cos(3t)}{3}+c_2)\vec{j}+c_3\vec{k}=

=(6\sin(3t)+c_1)\vec{i}+(6\cos(3t)+c_2)\vec{j}+c_3\vec{k}

נציב את הנקודה בזמן המהירות ההתחלתית, כדי למצוא את הקבועים:

\vec{v}(0)=(6\sin(3\cdot 0)+c_1,6\cos(3\cdot 0)+c_2,c_3)=(0,2,4)

קיבלנו:

(c_1,6+c_2,c_3)=(0,2,4)

כלומר,

c_1=0

c_2=-4

c_3=4

מכאן, פונקציית המהירות היא:

\vec{v}(t)=6\sin(3t)\vec{i}+(6\cos(3t)-4)\vec{j}+4\vec{k}

פונקציית המהירות היא הנגזרת של פונקציית התנועה, כלומר מתקיים:

\vec{v}(t)=\vec{r}'(t)

לכן, כדי למצוא את פונקציית התנועה, נעשה אינטגרל על פונקציית המהירות לפי t – עושים אינטגרל על כל רכיב בנפרד:

\vec{r}(t)=\int\vec{v}(t)dt=

=\int 6\sin(3t)dt\vec{i}+\int(6\cos(3t)-4)dt\vec{j}+\int4dt\vec{k}=

=(\frac{-6\cos(3t)}{3}+c'_1)\vec{i}+(\frac{6\sin(3t)}{3}+c'_2)\vec{j}+(4t+c'_3)\vec{k}=

=(-2\cos(3t)+c'_1)\vec{i}+(2\sin(3t)+c'_2)\vec{j}+(4t+c'_3)\vec{k}

נציב את רדיוס הוקטור ההתחלתי, כדי למצוא את הקבועים:

\vec{r}(0)=(-2\cos(3\cdot 0)+c'_1,2\sin(3\cdot 0)-4\cdot 0+c'_2,4\cdot 0+c'_3)=(2,0,1)

קיבלנו:

(-2+c'_1,c'_2,c'_3)=(0,2,4)

כלומר,

c'_1=4

c'_2=0

c'_3=1

מכאן, פונקציית המהירות היא:

\vec{r}(t)=(-2\cos(3t)+4)\vec{i}+(2\sin(3t)-4t)\vec{j}+(4t+1)\vec{k}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה