תרגיל
חלקיק נע לפי חוק התנועה:
\vec{r}(t)=R\cos(\omega t)\vec{i}+R\sin(\omega t)\vec{j}
כאשר
\omega>0, R>0
חשבו את פונקציית המהירות, את פונקציית התאוצה, את הערכים שלהם (גודלי הווקטורים) ואת וקטורי היחידה.
תשובה סופית
פתרון
נתונה פונקציית תנועה:
\vec{r}(t)=R\cos(\omega t)\vec{i}+R\sin(\omega t)\vec{j}
פונקציית המהירות היא הנגזרת של פונקציית התנועה, כלומר
\vec{v}(t)=\vec{r}'(t)=
לכן, נגזור את פונקציית התנועה לפי t (השאר פרמטרים) – כל רכיב גוזרים בנפרד:
=-R\omega\sin(\omega t)\vec{i}+R\omega\cos(\omega t)\vec{j}
מצאנו את פונקציית המהירות. זוהי פונקציה וקטורית, כלומר וקטור. נחשב את גודל הווקטור:
|\vec{v}(t)|=\sqrt{{(R\omega\sin(\omega t))}^2+{(R\omega\cos(\omega t))}^2}=
=\sqrt{R^2\omega^2\sin^2(\omega t)+R^2\omega^2\cos^2(\omega t)}=
=\sqrt{R^2\omega^2(\sin^2(\omega t)+\cos^2(\omega t))}=
נשתמש בזהות הטריגונומטרית:
\cos^2 x+\sin^2 x=1
ונקבל:
=\sqrt{R^2\omega^2}=R\omega
קיבלנו שגודל הווקטור (של פונקציית המהירות) הוא
|\vec{v}(t)|=R\omega
נחשב את וקטור היחידה, כלומר ננרמל את פונקציית המהירות – נחלק את פונקציית המהירות באורך (גודל) הווקטור ונקבל:
\hat{v}(t)=\frac{\vec{v}(t)}{|\vec{v}(t)|}=
=\frac{-R\omega\sin(\omega t)}{R\omega}\vec{i}+\frac{R\omega\cos(\omega t)}{R\omega}\vec{j}=
=-\sin(\omega t)\vec{i}+\cos(\omega t)\vec{j}
כעת, נחשב את פונקציית התאוצה. פונקציה זו היא הנגזרת של פונקציית המהירות או הנגזרת השנייה של פונקציית התנועה, כלומר
\vec{a}(t)=\vec{r}''(t)=\vec{v}'(t)=
לכן, נגזור את פונקציית המהירות לפי t (השאר פרמטרים) – כל רכיב גוזרים בנפרד:
=-R\omega^2\cos(\omega t)\vec{i}-R\omega^2\sin(\omega t)\vec{j}
מצאנו את פונקציית התאוצה. זוהי פונקציה וקטורית, כלומר וקטור. נחשב את גודל הווקטור:
|\vec{a}(t)|=\sqrt{{(-R\omega^2\cos(\omega t))}^2+{(-R\omega^2\sin(\omega t))}^2}=
=\sqrt{R^2\omega^4\cos^2(\omega t)+R^2\omega^4\sin^2(\omega t)}=
=\sqrt{R^2\omega^4(\cos^2(\omega t)+\sin^2(\omega t))}=
שוב נשתמש בזהות הטריגונומטרית ונקבל:
=\sqrt{R^2\omega^4}=R\omega^2
קיבלנו שגודל הווקטור (של פונקציית המהירות) הוא
|\vec{a}(t)|=R\omega^2
נחשב את וקטור היחידה, כלומר ננרמל את פונקציית התאוצה – נחלק את פונקציית התאוצה באורך (גודל) הווקטור ונקבל:
\hat{a}(t)=\frac{\vec{a}(t)}{|\vec{a}(t)|}=
=\frac{-R\omega^2\cos(\omega t)}{R\omega^2}\vec{i}-\frac{R\omega^2\sin(\omega t)}{R\omega^2}\vec{j}=
=-\cos(\omega t)\vec{i}-\sin(\omega t)\vec{j}
עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות.
