fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

שימושים בפיזיקה – חישוב מהירות ותאוצה – תרגיל 3852

תרגיל 

חלקיק נע לפי חוק התנועה:

\vec{r}(t)=R\cos(\omega t)\vec{i}+R\sin(\omega t)\vec{j}

כאשר

\omega>0, R>0

חשבו את פונקציית המהירות, את פונקציית התאוצה, את הערכים שלהם (גודלי הווקטורים) ואת וקטורי היחידה.

תשובה סופית

\vec{v}(t)=-R\omega\sin(\omega t)\vec{i}+R\omega\cos(\omega t)\vec{j}

|\vec{v}(t)|=R\omega

\hat{v}(t)=-\sin(\omega t)\vec{i}+\cos(\omega t)\vec{j}

\vec{a}(t)=-R\omega^2\cos(\omega t)\vec{i}-R\omega^2\sin(\omega t)\vec{j}

|\vec{a}(t)|=R\omega^2

\hat{a}(t)=-\cos(\omega t)\vec{i}-\sin(\omega t)\vec{j}

פתרון

נתונה פונקציית תנועה:

\vec{r}(t)=R\cos(\omega t)\vec{i}+R\sin(\omega t)\vec{j}

פונקציית המהירות היא הנגזרת של פונקציית התנועה, כלומר

\vec{v}(t)=\vec{r}'(t)=

לכן, נגזור את פונקציית התנועה לפי t (השאר פרמטרים) – כל רכיב גוזרים בנפרד:

=-R\omega\sin(\omega t)\vec{i}+R\omega\cos(\omega t)\vec{j}

מצאנו את פונקציית המהירות. זוהי פונקציה וקטורית, כלומר וקטור. נחשב את גודל הווקטור:

|\vec{v}(t)|=\sqrt{{(R\omega\sin(\omega t))}^2+{(R\omega\cos(\omega t))}^2}=

=\sqrt{R^2\omega^2\sin^2(\omega t)+R^2\omega^2\cos^2(\omega t)}=

=\sqrt{R^2\omega^2(\sin^2(\omega t)+\cos^2(\omega t))}=

נשתמש בזהות הטריגונומטרית:

\cos^2 x+\sin^2 x=1

ונקבל:

=\sqrt{R^2\omega^2}=R\omega

קיבלנו שגודל הווקטור (של פונקציית המהירות) הוא

|\vec{v}(t)|=R\omega

נחשב את וקטור היחידה, כלומר ננרמל את פונקציית המהירות – נחלק את פונקציית המהירות באורך (גודל) הווקטור ונקבל:

\hat{v}(t)=\frac{\vec{v}(t)}{|\vec{v}(t)|}=

=\frac{-R\omega\sin(\omega t)}{R\omega}\vec{i}+\frac{R\omega\cos(\omega t)}{R\omega}\vec{j}=

=-\sin(\omega t)\vec{i}+\cos(\omega t)\vec{j}

כעת, נחשב את פונקציית התאוצה. פונקציה זו היא הנגזרת של פונקציית המהירות או הנגזרת השנייה של פונקציית התנועה, כלומר

\vec{a}(t)=\vec{r}''(t)=\vec{v}'(t)=

לכן, נגזור את פונקציית המהירות לפי t (השאר פרמטרים) – כל רכיב גוזרים בנפרד:

=-R\omega^2\cos(\omega t)\vec{i}-R\omega^2\sin(\omega t)\vec{j}

מצאנו את פונקציית התאוצה. זוהי פונקציה וקטורית, כלומר וקטור. נחשב את גודל הווקטור:

|\vec{a}(t)|=\sqrt{{(-R\omega^2\cos(\omega t))}^2+{(-R\omega^2\sin(\omega t))}^2}=

=\sqrt{R^2\omega^4\cos^2(\omega t)+R^2\omega^4\sin^2(\omega t)}=

=\sqrt{R^2\omega^4(\cos^2(\omega t)+\sin^2(\omega t))}=

שוב נשתמש בזהות הטריגונומטרית ונקבל:

=\sqrt{R^2\omega^4}=R\omega^2

קיבלנו שגודל הווקטור (של פונקציית המהירות) הוא

|\vec{a}(t)|=R\omega^2

נחשב את וקטור היחידה, כלומר ננרמל את פונקציית התאוצה – נחלק את פונקציית התאוצה באורך (גודל) הווקטור ונקבל:

\hat{a}(t)=\frac{\vec{a}(t)}{|\vec{a}(t)|}=

=\frac{-R\omega^2\cos(\omega t)}{R\omega^2}\vec{i}-\frac{R\omega^2\sin(\omega t)}{R\omega^2}\vec{j}=

=-\cos(\omega t)\vec{i}-\sin(\omega t)\vec{j}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה