fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

שימושים בפיזיקה – חישוב זווית בין וקטור מהירות לווקטור תאוצה – תרגיל 3878

תרגיל 

חשבו את הזווית בין וקטורי המהירות והתאוצה בזמן t=0 אם וקטור התנועה הוא:

\vec{r}(t)=\ln(t^2+1)\vec{i}+\arctan t\vec{j}+\sqrt{t^2+1}\vec{k}

תשובה סופית

\alpha=\frac{\pi}{2}

פתרון

נתונה פונקציית תנועה:

\vec{r}(t)=\ln(t^2+1)\vec{i}+\arctan t\vec{j}+\sqrt{t^2+1}\vec{k}

פונקציית המהירות היא הנגזרת של פונקציית התנועה, כלומר

\vec{v}(t)=\vec{r}'(t)=

לכן, נגזור את פונקציית התנועה לפי t (השאר פרמטרים) – כל רכיב גוזרים בנפרד:

=\frac{2t}{t^2+1}\vec{i}+\frac{1}{1+t^2}\vec{j}+\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}\vec{k}

מצאנו את פונקציית המהירות. נציב t=0 ונקבל:

\vec{v}(0)=0\vec{i}+1\vec{j}+0\vec{k}

כעת, נחשב את פונקציית התאוצה. פונקציה זו היא הנגזרת של פונקציית המהירות או הנגזרת השנייה של פונקציית התנועה, כלומר

\vec{a}(t)=\vec{r}''(t)=\vec{v}'(t)=

לכן, נגזור את פונקציית המהירות לפי t – כל רכיב גוזרים בנפרד:

=2\frac{t^2+1-t\cdot 2t}{{(t^2+1)}^2}\vec{i}-\frac{2t}{{(1+t^2)}^2}\vec{j}+\frac{\sqrt{t^2+1}-t\cdot\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}}{t^2+1}\vec{k}

מצאנו את פונקציית התאוצה. נציב t=0 ונקבל:

\vec{a}(0)=2\vec{i}+0\vec{j}+\vec{k}

נחשב את הזווית בין שני הווקטורים:

\vec{v}(0)=(0,1,0)

\vec{a}(0)=(2,0,1)

בעזרת הנוסחה של מכפלה סקלרית:

\cos\alpha=\frac{\vec{v}(0)\cdot \vec{a}(0)}{|\vec{v}(0)|\cdot|\vec{a}(0)|}=

=\frac{(0,1,0)\cdot (2,0,1)}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}\cdot\sqrt{2^2+0^2+1^2}}=

=\frac{0\cdot 2+1\cdot 0+0\cdot 1}{\sqrt{1}\cdot\sqrt{5}}=

=\frac{0}{\sqrt{5}}=0

קיבלנו:

\cos\alpha=0

מכאן,

\alpha=\frac{\pi}{2}=90^{\circ}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה