fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

קואורדינטות קוטביות – מעבר לקואורדינטות קוטביות וחישוב גבולות אינטגרציה – תרגיל 3980

תרגיל 

באינטגרל הכפול:

\int\int_D f(x,y) dxdy

חשבו את גבולות האינטגרציה בקואורדינטות קוטביות (פולריות) כאשר התחום D הוא המעגל:

x^2+y^2\leq a^2, a>0

תשובה סופית

\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^a f(r\cos\theta,r\sin\theta) dr

פתרון

מכיוון שהתחום D הוא מעגל שלם, מומלץ מאוד לעבור לקואורדינטות קוטביות (פולריות) בעזרת המשוואות:

x=r\cos\theta

y=r\sin\theta

כדי למצוא את גבולות האינטגרציה לפי המשתנים החדשים, נציב את המשוואות לעיל בתחום D. כך נקבל:

x^2+y^2\leq a^2

{(r\cos\theta)}^2+{(r\sin\theta)}^2\leq a^2

r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta\leq a^2

r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)\leq a^2

r^2\leq a^2

מכיוון ש-r והפרמטר a בהכרח חיוביים, מקבלים:

r\leq a

נזכור שתמיד מתקיים:

r\geq 0

וכך מקבלים שמתקיים:

0\leq r\leq a

מכיוון שהתחום הוא מעגל שלם, הטווח של הזווית תטה הוא

0\leq \theta\leq 2\pi

כמו כן, נזכור לכפול ביעקוביאן, כאשר אנו עוברים למערכת קואורדינטות אחרת. עבור מעגל היעקוביאן הוא

|J|=r

נציב את גבולות האינטגרציה שקיבלנו ואת היעקוביאן:

\int\int_D f(x,y) dxdy=

=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^a f(r\cos\theta,r\sin\theta)\cdot r dr

הערה: בקביעת סדר האינטגרציה, נזכור שגבולות האינטגרציה של האינטגרל החיצוני (השמאלי) חייבים להיות קבועים.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה