fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

קואורדינטות קוטביות – מעבר לקואורדינטות קוטביות וחישוב גבולות אינטגרציה – תרגיל 4002

תרגיל 

באינטגרל הכפול:

\int\int_D f(x,y) dxdy

חשבו את גבולות האינטגרציה בקואורדינטות קוטביות (פולריות) כאשר D הוא התחום:

\{(x,y)|\frac{x^2}{a}\leq y\leq a,-a\leq x\leq a, a>0\}

תשובה סופית

\int_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi}d\theta\int_0^{\frac{a\sin\theta}{\cos^2\theta}} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\cdot r dr+

+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}d\theta\int_0^{\frac{a}{\sin\theta}} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\cdot r dr+

+\int_0^{\frac{\pi}{4}}d\theta\int_0^{\frac{a\sin\theta}{\cos^2\theta}} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\cdot r dr

פתרון

ראשית, נשרטט את התחום D – נשרטט את המשוואות ונסמן את התחום שמתקבל בתוכן. למשל, עבור a=2 זה נראה כך:

תחום בין פרבולה לישר

באופן כללי, לא בטוח שהיינו עוברים לקואורדינטות קוטביות, אלא אולי פותרים אותו בקואורדינטות קרטזיות (x,y). אבל בשביל התרגול נראה שאפשר לעבור לקואורדינטות קוטביות (פולריות) גם כאן. כרגיל, נשתמש במשוואות:

x=r\cos\theta

y=r\sin\theta

כדי להקל את החישובים, נפצל את התחום D לשלושה תחומים בעזרת המשוואות:

y=x, y=-x

זה נראה כך:

חלוקת תחום לשלושה תחומים

כדי למצוא את גבולות האינטגרציה לפי המשתנים החדשים, נציב את המשוואות לעיל בתחום D.

נציב באי-שוויון הראשון:

\frac{x^2}{a}\leq y

\frac{{(r\cos\theta)}^2}{a}\leq r\sin\theta

\frac{r^2\cos^2\theta}{a}\leq r\sin\theta

נחלק ב-r:

\frac{r\cos^2\theta}{a}\leq \sin\theta

r\cos^2\theta\leq a\sin\theta

r\leq \frac{a\sin\theta}{\cos^2\theta}

נציב באי-שוויון שני:

y\leq a

r\sin\theta\leq a

r\leq \frac{a}{\sin\theta}

נציב בישרים שהוספנו:

y=x

r\sin\theta=r\cos\theta

נחלק ב-r:

\sin\theta=\cos\theta

\tan\theta=1

\theta=\frac{\pi}{4}

ובישר השני:

y=-x

r\sin\theta=-r\cos\theta

נחלק ב-r:

\sin\theta=-\cos\theta

\tan\theta=-1

\theta=\frac{3\pi}{4}

נחשב את גבולות האינטגרציה של התחום A – הוא בין הפרבולה לישר:

y=-x

לכן, גבולות האינטגרציה שלו יהיו

\int\int_{D_A} f(x,y) dxdy=

=\int_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi}d\theta\int_0^{\frac{a\sin\theta}{\cos^2\theta}} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\cdot r dr

נחשב את גבולות האינטגרציה של התחום B – הוא בין הפרבולה לישר:

y=a

לכן, גבולות האינטגרציה שלו יהיו

\int\int_{D_B} f(x,y) dxdy=

=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}d\theta\int_0^{\frac{a}{\sin\theta}} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\cdot r dr

נחשב את גבולות האינטגרציה של התחום C – הוא בין הפרבולה לישר:

y=-x

לכן, גבולות האינטגרציה שלו יהיו

\int\int_{D_C} f(x,y) dxdy=

=\int_0^{\frac{\pi}{4}}d\theta\int_0^{\frac{a\sin\theta}{\cos^2\theta}} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\cdot r dr

שימו לב שכפלנו ביעקוביאן. מכיוון שהשתמשנו במשוואות הרגילות, היעקוביאן הוא

|J|=r

סה”כ קיבלנו:

\int\int_D f(x,y) dxdy=

=\int_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi}d\theta\int_0^{\frac{a\sin\theta}{\cos^2\theta}} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\cdot r dr+

+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}d\theta\int_0^{\frac{a}{\sin\theta}} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\cdot r dr+

+\int_0^{\frac{\pi}{4}}d\theta\int_0^{\frac{a\sin\theta}{\cos^2\theta}} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\cdot r dr

הערה: בקביעת סדר האינטגרציה, נזכור שגבולות האינטגרציה של האינטגרל החיצוני (השמאלי) חייבים להיות קבועים.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה