תרגיל
חשבו את האינטגרל:
\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^a r^2\sin^2\theta dr
תשובה סופית
פתרון מפורט
נחשב את האינטגרל:
\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^a r^2\sin^2\theta dr=
קודם כל, נפתור את האינטגרל הפנימי (הימני) ונכניס את התוצאה בתוך האינטגרל החיצוני (השמאלי). שימו לב האינטגרל שאנו פותרים כעת (הימני) הוא לפי המשתנה r.
=\int_0^{2\pi} [\frac{r^3}{3}\sin^2\theta]_0^a d\theta=
נציב את גבולות האינטגרציה במקום r:
=\int_0^{2\pi} (\frac{a^3}{3}\sin^2\theta-\frac{0^3}{3}\sin^2\theta) d\theta=
=\int_0^{2\pi} \frac{a^3}{3}\sin^2\theta d\theta=
קיבלנו אינטגרל רגיל במשתנה אחד תטה. פונקציית ה-sin ריבועית, לכן ניפטר מהחזקה בעזרת הזהות הטריגונומטרית:
\sin^2 x=\frac{1-\cos(2x)}{2}
נציב את הזהות באינטגרל ונקבל:
=\frac{a^3}{3}\int_0^{2\pi} \frac{1-\cos(2\theta)}{2} d\theta=
=\frac{a^3}{6}\int_0^{2\pi} (1-\cos(2\theta)) d\theta=
הגענו לאינטגרל מיידי. נפתור אותו:
=\frac{a^3}{6} [\theta-\frac{\sin(2\theta)}{2}]_0^{2\pi}=
=\frac{a^3}{6} [2\pi-\frac{\sin(2\cdot 2\pi)}{2}-(0-\frac{\sin(2\cdot 0)}{2})]=
=\frac{a^3}{6} [2\pi-0-0]=
=\frac{a^3}{6}\cdot 2\pi=
=\frac{a^3\pi}{3}
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
