fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

קואורדינטות קוטביות – גבולות אינטגרציה קבועים – תרגיל 3976

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^a r^2\sin^2\theta dr

תשובה סופית

\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^a r^2\sin^2\theta dr=\frac{a^3\pi}{3}

פתרון

נחשב את האינטגרל:

\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^a r^2\sin^2\theta dr=

קודם כל, נפתור את האינטגרל הפנימי (הימני) ונכניס את התוצאה בתוך האינטגרל החיצוני (השמאלי). שימו לב האינטגרל שאנו פותרים כעת (הימני) הוא לפי המשתנה r.

=\int_0^{2\pi} [\frac{r^3}{3}\sin^2\theta]_0^a d\theta=

נציב את גבולות האינטגרציה במקום r:

=\int_0^{2\pi} (\frac{a^3}{3}\sin^2\theta-\frac{0^3}{3}\sin^2\theta) d\theta=

=\int_0^{2\pi} \frac{a^3}{3}\sin^2\theta d\theta=

קיבלנו אינטגרל רגיל במשתנה אחד תטה. פונקציית ה-sin ריבועית, לכן ניפטר מהחזקה בעזרת הזהות הטריגונומטרית:

\sin^2 x=\frac{1-2\cos(2x)}{2}

נציב את הזהות באינטגרל ונקבל:

=\frac{a^3}{3}\int_0^{2\pi} \frac{1-2\cos(2\theta)}{2} d\theta=

=\frac{a^3}{6}\int_0^{2\pi} (1-2\cos(2\theta)) d\theta=

הגענו לאינטגרל מיידי. נפתור אותו:

=\frac{a^3}{6} [\theta-2\frac{\sin(2\theta)}{2}]_0^{2\pi}=

=\frac{a^3}{6} [2\pi-2\frac{\sin(2\cdot 2\pi)}{2}-(0-2\frac{\sin(2\cdot 0)}{2})]=

=\frac{a^3}{6} [2\pi-0-0]=

=\frac{a^3}{6}\cdot 2\pi=

=\frac{a^3\pi}{3}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה