תרגיל
חשבו את האינטגרל:
∫02πdθ∫0ar2sin2θdr
תשובה סופית
∫02πdθ∫0ar2sin2θdr=3a3π
פתרון מפורט
נחשב את האינטגרל:
∫02πdθ∫0ar2sin2θdr=
קודם כל, נפתור את האינטגרל הפנימי (הימני) ונכניס את התוצאה בתוך האינטגרל החיצוני (השמאלי). שימו לב האינטגרל שאנו פותרים כעת (הימני) הוא לפי המשתנה r.
=∫02π[3r3sin2θ]0adθ=
נציב את גבולות האינטגרציה במקום r:
=∫02π(3a3sin2θ−303sin2θ)dθ=
=∫02π3a3sin2θdθ=
קיבלנו אינטגרל רגיל במשתנה אחד תטה. פונקציית ה-sin ריבועית, לכן ניפטר מהחזקה בעזרת הזהות הטריגונומטרית:
sin2x=21−cos(2x)
נציב את הזהות באינטגרל ונקבל:
=3a3∫02π21−cos(2θ)dθ=
=6a3∫02π(1−cos(2θ))dθ=
הגענו לאינטגרל מיידי. נפתור אותו:
=6a3[θ−2sin(2θ)]02π=
=6a3[2π−2sin(2⋅2π)−(0−2sin(2⋅0))]=
=6a3[2π−0−0]=
=6a3⋅2π=
=3a3π
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 