הירשמו לצפיה ב-1000 פתרונות מפורטים

קואורדינטות קוטביות – גבולות אינטגרציה קבועים – תרגיל 3976

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

∫02πdθ∫0ar2sin⁡2θdr\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^a r^2\sin^2\theta dr

תשובה סופית

∫02πdθ∫0ar2sin⁡2θdr=a3π3\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^a r^2\sin^2\theta dr=\frac{a^3\pi}{3}

פתרון מפורט

נחשב את האינטגרל:

∫02πdθ∫0ar2sin⁡2θdr=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^a r^2\sin^2\theta dr=

קודם כל, נפתור את האינטגרל הפנימי (הימני) ונכניס את התוצאה בתוך האינטגרל החיצוני (השמאלי). שימו לב האינטגרל שאנו פותרים כעת (הימני) הוא לפי המשתנה r.

=∫02π[r33sin⁡2θ]0adθ==\int_0^{2\pi} [\frac{r^3}{3}\sin^2\theta]_0^a d\theta=

נציב את גבולות האינטגרציה במקום r:

=∫02π(a33sin⁡2θ−033sin⁡2θ)dθ==\int_0^{2\pi} (\frac{a^3}{3}\sin^2\theta-\frac{0^3}{3}\sin^2\theta) d\theta=

=∫02πa33sin⁡2θdθ==\int_0^{2\pi} \frac{a^3}{3}\sin^2\theta d\theta=

קיבלנו אינטגרל רגיל במשתנה אחד תטה. פונקציית ה-sin ריבועית, לכן ניפטר מהחזקה בעזרת הזהות הטריגונומטרית:

sin⁡2x=1−cos⁡(2x)2\sin^2 x=\frac{1-\cos(2x)}{2}

נציב את הזהות באינטגרל ונקבל:

=a33∫02π1−cos⁡(2θ)2dθ==\frac{a^3}{3}\int_0^{2\pi} \frac{1-\cos(2\theta)}{2} d\theta=

=a36∫02π(1−cos⁡(2θ))dθ==\frac{a^3}{6}\int_0^{2\pi} (1-\cos(2\theta)) d\theta=

הגענו לאינטגרל מיידי. נפתור אותו:

=a36[θ−sin⁡(2θ)2]02π==\frac{a^3}{6} [\theta-\frac{\sin(2\theta)}{2}]_0^{2\pi}=

=a36[2π−sin⁡(2⋅2π)2−(0−sin⁡(2⋅0)2)]==\frac{a^3}{6} [2\pi-\frac{\sin(2\cdot 2\pi)}{2}-(0-\frac{\sin(2\cdot 0)}{2})]=

=a36[2π−0−0]==\frac{a^3}{6} [2\pi-0-0]=

=a36⋅2π==\frac{a^3}{6}\cdot 2\pi=

=a3π3=\frac{a^3\pi}{3}

 

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו
תגיות:

כתיבת תגובה