fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

קואורדינטות קוטביות – מעבר לקואורדינטות קוטביות וחישוב גבולות אינטגרציה – תרגיל 3992

תרגיל 

באינטגרל הכפול:

\int\int_D f(x,y) dxdy

חשבו את גבולות האינטגרציה בקואורדינטות קוטביות (פולריות) כאשר התחום D הוא הטבעת:

a^2\leq x^2+y^2\leq b^2, 0<a<b

תשובה סופית

\int_0^{2\pi}d\theta\int_a^b f(r\cos\theta,r\sin\theta)\cdot r dr

פתרון

מכיוון שהתחום D כולל מעגלים (הוא בעצם התחום בין שני מעגלים), מומלץ מאוד לעבור לקואורדינטות קוטביות (פולריות) בעזרת המשוואות:

x=r\cos\theta

y=r\sin\theta

כדי למצוא את גבולות האינטגרציה לפי המשתנים החדשים, נציב את המשוואות לעיל בתחום D. כך נקבל:

a^2\leq x^2+y^2\leq b^2

a^2\leq {(r\cos\theta)}^2+{(r\sin\theta)}^2\leq b^2

a^2\leq r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta\leq b^2

a^2\leq r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)\leq b^2

a^2\leq r^2\leq b^2

מכיוון ש-r והפרמטרים a,b בהכרח חיוביים, מקבלים:

a\leq r\leq b

מכיוון שהתחום הוא בין שני מעגלים שלמים, הטווח של הזווית תטה הוא

0\leq \theta\leq 2\pi

לבסוף, נזכור שצריך גם לכפול ביעקוביאן. כאשר התחום הוא מעגל, היעקוביאן הוא

|J|=r

נציב את גבולות האינטגרציה שקיבלנו:

\int\int_D f(x,y) dxdy=

=\int_0^{2\pi}d\theta\int_a^b f(r\cos\theta,r\sin\theta)\cdot r dr

הערה: בקביעת סדר האינטגרציה, נזכור שגבולות האינטגרציה של האינטגרל החיצוני (השמאלי) חייבים להיות קבועים.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה