fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

קואורדינטות קוטביות – מעבר לקואורדינטות קוטביות וחישוב גבולות אינטגרציה – תרגיל 3986

תרגיל 

באינטגרל הכפול:

\int\int_D f(x,y) dxdy

חשבו את גבולות האינטגרציה בקואורדינטות קוטביות (פולריות) כאשר התחום D הוא המעגל:

x^2+y^2\leq ax, a>0

תשובה סופית

\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_0^{a\cos\theta} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\cdot r dr

או

\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\frac{a}{2}} f(\frac{a}{2}+r\cos\theta,r\sin\theta)\cdot r dr

פתרון

מכיוון שהתחום D הוא מעגל שלם, מומלץ מאוד לעבור לקואורדינטות קוטביות (פולריות) בעזרת המשוואות:

x=r\cos\theta

y=r\sin\theta

כדי למצוא את גבולות האינטגרציה לפי המשתנים החדשים, נציב את המשוואות לעיל בתחום D. כך נקבל:

x^2+y^2\leq ax

{(r\cos\theta)}^2+{(r\sin\theta)}^2\leq ar\cos\theta

r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta\leq ar\cos\theta

r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)\leq ar\cos\theta

r^2\leq ar\cos\theta

נחלק ב-r:

r\leq a\cos\theta

נזכור שתמיד מתקיים:

r\geq 0

וכך מקבלים שמתקיים:

0\leq r\leq a\cos\theta

כעת נמצא את הטווח של תטה. מכיוון ש-r והפרמטר a חיוביים, נובע מהטווח שקיבלנו עבור r שצריך להתקיים:

\cos\theta\geq 0

וזה מתקיים בטווח:

-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq \frac{\pi}{2}

הערה: אפשרות אחרת היא לקחת את הרבעון הראשון ואת הרבעון האחרון של המחזור של קוסינוס.

לבסוף, נזכור שצריך גם לכפול ביעקוביאן. כאשר התחום הוא מעגל, היעקוביאן הוא

|J|=r

נציב את גבולות האינטגרציה שקיבלנו:

\int\int_D f(x,y) dxdy=

=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_0^{a\cos\theta} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\cdot r dr

הערה: בקביעת סדר האינטגרציה, נזכור שגבולות האינטגרציה של האינטגרל החיצוני (השמאלי) חייבים להיות קבועים.

דרך שנייה לפתרון – נסדר את התחום בעזרת השלמה לריבוע:

x^2+y^2\leq ax

x^2-ax+y^2\leq 0

{(x-\frac{a}{2})}^2+y^2\leq \frac{a^2}{4}

בהתאם למשוואת המעגל שקיבלנו, נגדיר את המשוואות:

x=\frac{a}{2}+r\cos\theta

y=r\sin\theta

נציב את המשוואות באי-שוויון של המעגל, כדי למצוא את הטווח של r. נקבל:

{(x-\frac{a}{2})}^2+y^2\leq \frac{a^2}{4}

{(\frac{a}{2}+r\cos\theta-\frac{a}{2})}^2+{(r\sin\theta)}^2\leq \frac{a^2}{4}

r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta\leq \frac{a^2}{4}

r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)\leq \frac{a^2}{4}

r^2\leq \frac{a^2}{4}

מכיוון ש-r והפרמטר a חיוביים, מקבלים:

r\leq \frac{a}{2}

נזכור שתמיד מתקיים:

r\geq 0

וכך מקבלים שמתקיים:

0\leq r\leq \frac{a}{2}

מכיוון שהתחום הוא מעגל שלם, הטווח של הזווית תטה הוא

0\leq \theta\leq 2\pi

כמו כן, נזכור לכפול ביעקוביאן, כאשר אנו עוברים למערכת קואורדינטות אחרת. עבור מעגל היעקוביאן הוא

|J|=r

נציב את גבולות האינטגרציה שקיבלנו ואת היעקוביאן:

\int\int_D f(x,y) dxdy=

=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\frac{a}{2}} f(\frac{a}{2}+r\cos\theta,r\sin\theta)\cdot r dr

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה