fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

קואורדינטות קוטביות – מעבר לקואורדינטות קוטביות וחישוב גבולות אינטגרציה – תרגיל 3994

תרגיל 

באינטגרל הכפול:

\int\int_D f(x,y) dxdy

חשבו את גבולות האינטגרציה בקואורדינטות קוטביות (פולריות) כאשר D הוא התחום:

\{(x,y)|0\leq x\leq 1,0\leq y\leq1-x\}

תשובה סופית

\int_0^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_0^{\frac{1}{\sin\theta+\cos\theta}} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\cdot r dr

פתרון

ראשית, נשרטט את התחום D – נשרטט את המשוואות ונסמן את התחום שמתקבל בתוכן:

תחום משולש במישור XY

מכיוון שהתחום D הוא משולש, לא היינו עוברים לקואורדינטות קוטביות, אלא פותרים אותו בקואורדינטות קרטזיות (x,y). אבל בשביל התרגול נראה שאפשר לעבור לקואורדינטות קוטביות (פולריות) גם כאן. כרגיל, נשתמש במשוואות:

x=r\cos\theta

y=r\sin\theta

כדי למצוא את גבולות האינטגרציה לפי המשתנים החדשים, נציב את המשוואות לעיל בתחום D:

0\leq y\leq1-x

0\leq r\sin\theta\leq1-r\cos\theta

0\leq r\sin\theta+r\cos\theta\leq 1

0\leq r(\sin\theta+\cos\theta)\leq 1

0\leq r\leq\frac{1}{\sin\theta+\cos\theta}

קיבלנו טווח ל-r. נמצא את הטווח לזווית תטה. מהשרטוט רואים שהתחום כולל את כל הזוויות של הרבעון הראשון, כלומר

0\leq \theta\leq \frac{\pi}{2}

לבסוף, נזכור שצריך גם לכפול ביעקוביאן. כאשר התחום הוא מעגל, היעקוביאן הוא

|J|=r

נציב את גבולות האינטגרציה שקיבלנו:

\int\int_D f(x,y) dxdy=

=\int_0^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_0^{\frac{1}{\sin\theta+\cos\theta}} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\cdot r dr

הערה: בקביעת סדר האינטגרציה, נזכור שגבולות האינטגרציה של האינטגרל החיצוני (השמאלי) חייבים להיות קבועים.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה