fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

קואורדינטות קוטביות – מעבר לקואורדינטות קוטביות וחישוב גבולות אינטגרציה – תרגיל 3997

תרגיל 

באינטגרל הכפול:

\int\int_D f(x,y) dxdy

חשבו את גבולות האינטגרציה בקואורדינטות קוטביות (פולריות) כאשר D הוא התחום:

\{(x,y)|1\leq x\leq 2,x\leq y\leq\sqrt{3}x\}

תשובה סופית

\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}d\theta\int_{\frac{1}{\cos\theta}}^{\frac{2}{\cos\theta}} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\cdot r dr

פתרון

ראשית, נשרטט את התחום D – נשרטט את המשוואות ונסמן את התחום שמתקבל בתוכן:

תחום בין ישרים במישור XY

מכיוון שהתחום D הוא מרובע, לא בטוח שהיינו עוברים לקואורדינטות קוטביות, אלא אולי פותרים אותו בקואורדינטות קרטזיות (x,y). אבל בשביל התרגול נראה שאפשר לעבור לקואורדינטות קוטביות (פולריות) גם כאן. כרגיל, נשתמש במשוואות:

x=r\cos\theta

y=r\sin\theta

כדי למצוא את גבולות האינטגרציה לפי המשתנים החדשים, נציב את המשוואות לעיל בתחום D. נתחיל מהאי-שוויון הראשון:

x\leq y

r\cos\theta\leq r\sin\theta

נחלק ב-r:

\cos\theta\leq \sin\theta

\tan\theta\geq 1

\theta\geq \frac{\pi}{4}

נציב באי-שוויון שני:

y\leq \sqrt{3}x

r\sin\theta\leq \sqrt{3}r\cos\theta

נחלק ב-r:

\sin\theta\leq \sqrt{3}\cos\theta

\tan\theta\leq \sqrt{3}

\theta\leq \frac{\pi}{3}

קיבלנו שהטווח של תטה הוא

\frac{\pi}{4}\leq\theta\leq \frac{\pi}{3}

קיבלנו טווח לתטה. נציב את המשוואות באי-שוויונים האחרים ב-D:

1\leq x\leq 2

1\leq r\cos\theta\leq 2

\frac{1}{\cos\theta}\leq r\leq \frac{2}{\cos\theta}

לבסוף, נזכור שצריך גם לכפול ביעקוביאן. מכיוון שהשתמשנו במשוואות הרגילות, היעקוביאן הוא

|J|=r

נציב את גבולות האינטגרציה שקיבלנו:

\int\int_D f(x,y) dxdy=

=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}d\theta\int_{\frac{1}{\cos\theta}}^{\frac{2}{\cos\theta}} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\cdot r dr

הערה: בקביעת סדר האינטגרציה, נזכור שגבולות האינטגרציה של האינטגרל החיצוני (השמאלי) חייבים להיות קבועים.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה