fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

גרדיאנט – חישוב גרדיאנט של שדה סקלרי – תרגיל 4254

תרגיל 

חשבו את הגרדיאנט של השדה הסקלרי:

u=\ln\sqrt{x^2+y^2+z^2}

בנקודה (1,1,1).

תשובה סופית


\nabla u(1,1,1)=(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})

פתרון

וקטור הגרדיאנט הוא הווקטור:

\nabla u=u'_x\vec{i}+u'_y\vec{j}+u'_z\vec{k}=

=(u'_x,u'_y,u'_z)

בנוסחה מופיעות הנגזרות של הפונקציה. לכן, נגזור:

u'_x(x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\cdot 2x=

=\frac{x}{x^2+y^2+z^2}

u'_y(x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\cdot 2y=

=\frac{y}{x^2+y^2+z^2}

u'_z(x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\cdot 2z=

=\frac{z}{x^2+y^2+z^2}

נציב את הנקודה בנגזרות ונקבל:

u'_x(1,1,1)=\frac{1}{1^2+1^2+1^2}=\frac{1}{3}

u'_y(1,1,1)=\frac{1}{1^2+1^2+1^2}=\frac{1}{3}

u'_z(1,1,1)=\frac{1}{1^2+1^2+1^2}=\frac{1}{3}

נציב בווקטור הגרדיאנט ונקבל:

\nabla u(1,1,1)=\frac{1}{3}\vec{i}+\frac{1}{3}\vec{j}+\frac{1}{3}\vec{k}

או בקיצור:

\nabla u(1,1,1)=(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה